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熱力学第一法則(開系、定常流)

定常流条件下で動作する開系のエネルギー収支を定量化する。

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\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

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Core idea

Overview

熱力学第一法則(開系、定常流)について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。手順として、まず問題文の既知量を一覧にし、同じ単位へそろえてから式を選びます。次に、代入と計算を分けて書き、最後に答えの符号、桁数、現実的な範囲を確認してください。

When to use: 熱力学第一法則(開系、定常流)は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。手順として、まず問題文の既知量を一覧にし、同じ単位へそろえてから式を選びます。次に、代入と計算を分けて書き、最後に答えの符号、桁数、現実的な範囲を確認してください。

Why it matters: 熱力学第一法則(開系、定常流)の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Symbols

Variables

$\dot{Q}$ = Heat Transfer Rate, $\dot{W}$ = Work Transfer Rate, $\overset{m}{˙}$ = Mass Flow Rate, $h_{in}$ = Specific Enthalpy (Inlet), $h_{o u t}$ = Specific Enthalpy (Outlet)

\dot{Q}

Heat Transfer Rate

\dot{W}

Work Transfer Rate

\overset{m}{˙}

Mass Flow Rate

kg/s

h_{in}

Specific Enthalpy (Inlet)

kJ/kg

h_{o u t}

Specific Enthalpy (Outlet)

kJ/kg

V_{in}

Velocity (Inlet)

m/s

V_{o u t}

Velocity (Outlet)

m/s

g

Gravitational Acceleration

m/s²

z_{in}

Elevation (Inlet)

m

z_{o u t}

Elevation (Outlet)

m

Walkthrough

Derivation

式：熱力学第一法則（開放系、定常流）

開放系に対する熱力学第一法則は、定常流条件下において、制御体積に入るエネルギーの割合は、制御体積から出るエネルギーの割合に蓄積分を加えたものに等しいと述べています。

システムは定常流条件下で動作します（任意の点での特性は時間とともに変化しません）。
制御体積は空間に固定されている。
簡略化のために入口と出口はそれぞれ1つずつと仮定するが、原理は複数の流れにも拡張される。
エネルギー移動は、熱、仕事、および質量流を介して発生する。

一般的なエネルギーバランスから始める：

制御体積内のエネルギーの変化率（ $E_{C V}$ ）は、正味の熱伝達率から正味の仕事率を引き、さらに質量流によって運ばれる正味のエネルギーの率を加えたものに等しい。

\frac{d E _{C V}}{d t} = \dot{Q} - \dot{W} + in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

定常流条件を適用する：

定常流では、制御体積内の特性は時間とともに変化しないため、エネルギー蓄積率はゼロである。

\frac{d E _{C V}}{d t} = 0

定常流エネルギー方程式に整理する：

定常流条件を一般的なエネルギーバランス方程式に代入する。

0 = \dot{Q} - \dot{W} + in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

最終形式（提示された通り）：

方程式を整理して、正味の熱と仕事の伝達項を一方の側に分離し、それらが質量流によって運ばれる正味のエネルギーと釣り合うことを示す。この形式は、入口と出口を持つ工学的装置の解析に特に有用である。

\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Result

\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Source: Cengel, Y. A., & Boles, M. A. (2015). Thermodynamics: An Engineering Approach (8th ed.). McGraw-Hill Education.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\dot{Q}$

熱力学第一法則（開放系）： $\dot{Q}$ を主語にする

\dot{Q} = \dot{W} + \overset{m}{˙} [(h_{o u t} - h_{in}) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})]

$\dot{Q}$ （熱伝達率）を主語にするには、仕事伝達項を方程式の右辺に移動します。

Difficulty: 3/5

Solve for $\dot{W}$

熱力学第一法則（開放系）： $\dot{W}$ を主語にする

\dot{W} = \dot{Q} - \overset{m}{˙} [(h_{o u t} - h_{in}) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})]

$\dot{W}$ （仕事率）を主語にするには、方程式を並べ替えて仕事項を分離します。

Difficulty: 3/5

Solve for $\overset{m}{˙}$

熱力学第一法則（開放系）： $\overset{m}{˙}$ を主語にする

\overset{m}{˙} = \frac{Q ˙ - W ˙}{( h _{o u t} - h _{in} ) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g ( z _{o u t} - z _{in} )}

$\overset{m}{˙}$ （質量流量）を主語にするには、正味のエネルギー伝達を単位質量あたりの比エネルギー変化で割ります。

Difficulty: 4/5

Solve for $h_{in}$

熱力学第一法則（開いた系）： $h_{in}$ を主題にする

h_{in} = h_{o u t} - \frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})

$h_{in}$ （入口の比エンタルピー）を主題にするために、エンタルピー差の項を分離し、その後 $h_{in}$ について解きます。

Difficulty: 4/5

Solve for $h_{o u t}$

熱力学第一法則（開いた系）： $h_{o u t}$ を主題にする

h_{o u t} = h_{in} + \frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} - g (z_{o u t} - z_{in})

$h_{o u t}$ （出口の比エンタルピー）を主題にするために、エンタルピー差の項を分離し、その後 $h_{o u t}$ について解きます。

Difficulty: 4/5

Solve for $V_{in}$

熱力学第一法則（開放系）: $V_{in}$ を求める

V_{in} = V_{o u t}^{2} - 2 (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - g (z_{o u t} - z_{in}))

$V_{in}$ （入口速度）を求めるには、運動エネルギー項を分離し、次に $V_{in}$ について解きます。

Difficulty: 4/5

Solve for $V_{o u t}$

熱力学第一法則（開放系）: $V_{o u t}$ を求める

V_{o u t} = V_{in}^{2} + 2 (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - g (z_{o u t} - z_{in}))

$V_{o u t}$ （出口速度）を主語にするために、運動エネルギーの項を分離し、 $V_{o u t}$ について解きます。

Difficulty: 4/5

Solve for $g$

熱力学第一法則（開放系）: $g$ を主語にする

g = \frac{1}{z _{o u t} - z _{in}} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

$g$ （重力加速度）を主語にするために、位置エネルギーの項を分離し、 $g$ について解きます。

Difficulty: 4/5

Solve for $z_{in}$

熱力学第一法則（開放系）： $z_{in}$ について解く

z_{in} = z_{o u t} - \frac{1}{g} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

$z_{in}$ （入口の高さ）について解くには、位置エネルギー項を分離し、 $z_{in}$ について解きます。

Difficulty: 4/5

Solve for $z_{o u t}$

熱力学第一法則（開放系）： $z_{o u t}$ について解く

z_{o u t} = z_{in} + \frac{1}{g} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

$z_{o u t}$ （出口の高さ）について解くには、位置エネルギー項を分離し、 $z_{o u t}$ について解きます。

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

グラフは直線を示し、熱伝達率は質量流量に比例して変化し、その傾きはエンタルピー、運動エネルギー、位置エネルギーの差の合計によって決まる。工学分野の学生にとって、この線形関係は、質量流量の増加がエネルギーバランスを維持するために熱伝達の比例的な増加を必要とすることを意味し、小さな値は低処理量システムを表し、大きな値は高容量の産業プロセスを表す。この曲線の最も重要な特徴は、線形関係により、仕事伝達とエネルギー差が一定であれば、質量流量を2倍にすると熱伝達率も正確に2倍になることである。

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

固定された仮想的な箱（制御体積）を想像せよ。その中を流体が連続的に流れ、同時に熱と仕事がその境界を横切り、すべてが定常で不変の様子にある。

\dot{Q}

制御体積への熱伝達率

システムに加えられた熱は全エネルギーを増加させ、取り除かれた熱は減少させる。

\dot{W}

制御体積が行う仕事率

システムによって行われる仕事（例：タービン）はエネルギーを除去し、システムに対して行われる仕事（例：圧縮機）はエネルギーを追加する。

\overset{m}{˙}

質量流量

単位時間あたりに境界を通過する質量、つまりそれに伴うエネルギーの量を表す。

h

流体の比エンタルピー

流体の内部エネルギーと「流れ仕事」（流体を境界を押し出して通過させるのに必要なエネルギー）を組み合わせ、流れる流体の単位質量あたりの全エネルギー含量を表す。

\frac{V ^{2}}{2}

流体の比運動エネルギー

流体の一様な運動による単位質量あたりのエネルギー。流体が速いほど運動エネルギーは大きくなる。

流体の比位置エネルギー

重力場における流体の高さによる単位質量あたりのエネルギー。流体が高いほど位置エネルギーは大きくなる。

\sum_{o u t}

すべての出口における総和

すべての流出する質量流によって系から持ち出される全エネルギーを計上する。

\sum_{in}

すべての入口における総和

すべての流入する質量流によって系に持ち込まれる全エネルギーを計上する。

Signs and relationships

-\dot{W}: 負の符号は、系*によって*行われる仕事（例えば、動力を生み出すタービン）が制御体積からエネルギーを取り除くことを示す。もし系*に対して*仕事が行われる場合（例えば、圧縮機）、 $\dot{W}$ は負になるだろう。
-\sum_{in} \dot{m} (h + \frac{V^2}{2} + gz): この項は、質量流を介して制御体積に*流入する*エネルギーの速度を表す。方程式の右辺は質量流を介して系を*出る*正味のエネルギー（出力エネルギーから入力エネルギーを引いたもの）を表すため、その...

Free study cues

Insight

Canonical usage

この式は、エネルギー移動速度（電力）と、質量流によって運ばれるエネルギーの正味変化を釣り合わせるもので、電力と質量比エネルギーの単位を一致させる必要があります。

Dimension note

この式は無次元ではありません。電力（エネルギー/時間）の収支です。

One free problem

Practice Problem

次の条件を使って、熱力学第一法則(開系、定常流)を求めてください。必要な値を式に代入し、単位と桁数を確認して答えてください。条件: 2800, 50 m/s, 10 m, 2600, 150 m/s, 5 m, 2, 50 kW。

Hint: 熱力学第一法則(開系、定常流)の式に既知の値を代入し、単位、符号、分母と分子の対応を確認しながら計算してください。問題文で与えられた条件を先に整理すると解きやすくなります。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

熱力学第一法則(開系、定常流)は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

単位を必ずそろえます。例えば、出力はkJ/s、比エンタルピーはkJ/kg、速度はm/sで扱います。
制御体積を明確にし、すべての入口と出口を確認します。
熱と仕事の符号規約に注意します。系に加わる熱は正、系がする仕事も正として扱います。
熱交換器や低速流体のように、運動エネルギーや位置エネルギーの変化が無視できる場合は項を簡略化します。

Avoid these traps

Common Mistakes

熱と仕事の符号の規則を誤って適用すること。
すべてのエネルギー形態(エンタルピー、運動エネルギー、位置エネルギー)を含めるのを忘れる、または無視できると仮定して実際は無視できないこと。
単位を混在させる(例:エンタルピーにkJ、運動エネルギーにJを換算せずに使用する)。
非定常流システムに修正なしで方程式を適用すること。

Common questions

Frequently Asked Questions

熱力学第一法則(開系、定常流)は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。手順として、まず問題文の既知量を一覧にし、同じ単位へそろえてから式を選びます。次に、代入と計算を分けて書き、最後に答えの符号、桁数、現実的な範囲を確認してください。

熱力学第一法則(開系、定常流)の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

熱と仕事の符号の規則を誤って適用すること。すべてのエネルギー形態(エンタルピー、運動エネルギー、位置エネルギー)を含めるのを忘れる、または無視できると仮定して実際は無視できないこと。単位を混在させる(例:エンタルピーにkJ、運動エネルギーにJを換算せずに使用する)。非定常流システムに修正なしで方程式を適用すること。

単位を必ずそろえます。例えば、出力はkJ/s、比エンタルピーはkJ/kg、速度はm/sで扱います。制御体積を明確にし、すべての入口と出口を確認します。熱と仕事の符号規約に注意します。系に加わる熱は正、系がする仕事も正として扱います。熱交換器や低速流体のように、運動エネルギーや位置エネルギーの変化が無視できる場合は項を簡略化します。

References

Sources

Fundamentals of Heat and Mass Transfer by Incropera, DeWitt, Bergman, Lavine, 7th Edition
Thermodynamics: An Engineering Approach by Yunus A. Cengel and Michael A. Boles, 8th Edition
Transport Phenomena by R. Byron Bird, Warren E. Stewart, and Edwin N. Lightfoot, 2nd Edition
Wikipedia: First law of thermodynamics
Moran & Shapiro, Fundamentals of Engineering Thermodynamics
Cengel & Boles, Thermodynamics: An Engineering Approach
NIST CODATA
Cengel and Boles Thermodynamics: An Engineering Approach

熱力学第一法則(開系、定常流)

Overview

Variables

Derivation

一般的なエネルギーバランスから始める：

定常流条件を適用する：

定常流エネルギー方程式に整理する：

最終形式（提示された通り）：

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

First Law of Thermodynamics (Closed System)

Bernoulli's Equation

Continuity Equation

Frequently Asked Questions

Sources