Mathematicsベクトル解析University

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

グリーンの定理

閉曲線に沿った線積分をその曲線が囲む領域上の二重積分に関連付ける。

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

グリーンの定理について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。

When to use: グリーンの定理は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

Why it matters: グリーンの定理の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

単純な領域に対するグリーンの定理の証明

単純なタイプIおよびタイプIIの領域に対して、境界上の線積分を評価し、それが偏導関数の二重積分に等しいことを示すことによって、グリーンの定理を証明します。

Cは正の向きを持つ、区分的に滑らかな単純閉曲線です。
P(x,y)とQ(x,y)は、Dを含む開領域上で連続な偏導関数を持ちます。

1. 積分の分解

定理は2つの独立した部分で証明できます: $\oint L d x = - \iint \frac{\partial L}{\partial y} d A$ と $\oint M d y = \iint \frac{\partial M}{\partial x} d A$ を示すことです。

\oint_{C} (L d x + M d y) = \oint_{C} L d x + \oint_{C} M d y

2. Lの面積積分の設定

領域 $D$ は、 $x = a$ から $x = b$ の間で、下側を $y = g_{1} (x)$ 、上側を $y = g_{2} (x)$ で囲まれていると仮定します。

\iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial L}{\partial y} d y d x

3. 微積分学の基本定理の適用

偏導関数 $\frac{\partial L}{\partial y}$ を $y$ について積分すると、単純に関数 $L$ を上下の境界で評価したものになります。

\int_{a}^{b} [L (x, g_{2} (x)) - L (x, g_{1} (x))] d x

4. 線積分との関連付け

下部の経路 $g_{1}$ に沿った線積分は $a$ から $b$ へ進み、一方、上部の経路 $g_{2}$ は(反時計回りの向きを保つために) $b$ から $a$ へ逆方向に進みます。上部の積分の極限を逆にすると符号が変わります。

- \oint_{C} L (x, y) d x = - (\int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x + \int_{b}^{a} L (x, g_{2} (x)) d x)

5. 結論

$x$ 軸と $y$ 軸に同一の論理を適用して得られた2つの結果を組み合わせると、グリーンの定理の最終的な記述が得られます。

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Result

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\oint P d x + Q d y$

oint P dx + Q dy を主語にする

\oint P d x + Q d y = \iint (Q_{x} - P_{y}) d A

この並べ替えは、グリーンの定理の一般的な表記のバリエーションを示しており、初期形式を $L$ と $M$ を用いて、 $P$ 、 $Q$ 、および偏微分の添字表記を用いたよりコンパクトな形式に変換します。

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

平面上の領域が流れる流体で満たされていると想像してください。グリーンの定理は、領域全体における流体の正味の回転の総和が、その外側の境界に沿った流体の正味の流れに正確に等しいことを述べています。

\oint_{C} (L d x + M d y)

2次元ベクトル場F = <L, M>の単純閉曲線Cの周りの全循環。

ベクトル場の境界Cに沿った正味の「押し」または「流れ」を測定します。曲線上に小さなパドルホイールを想像してください。この項は、それが境界全体を通過するときの正味の回転を定量化します。

(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y})

ベクトル場F = <L, M>の2次元回転のz成分であり、ある点における無限小循環密度を表します。

領域内の無限小の点におけるベクトル場の「局所的な回転」または「渦度」を定量化します。正の値は通常、反時計回りの回転を示します。

\iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

Cで囲まれた領域D全体におけるすべての無限小循環(回転)の合計。

領域D内のすべての点で発生する小さな「渦」や「回転」を集約して、内部回転の全体的な尺度を得ます。

Signs and relationships

(∂ M / ∂ x - ∂ L / ∂ y): この特定の差がベクトル場F = <L, M>のスカラー回転(または2次元回転のz成分)を定義します。減算の順序は重要であり、循環の反時計回りの向きに対応しています。

Free study cues

Insight

Canonical usage

閉曲線に沿った線積分を、その内部領域上の二重積分と関連付けるために用いられ、式の両辺はベクトル場の性質によって決まる一貫した物理次元を保つ必要があります。

One free problem

Practice Problem

次の条件を使って、グリーンの定理を求めてください。必要な値を式に代入し、単位と桁数を確認して答えてください。条件: 0, 2, 3。

Hint: グリーンの定理の式に既知の値を代入し、単位、符号、分母と分子の対応を確認しながら計算してください。問題文で与えられた条件を先に整理すると解きやすくなります。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

グリーンの定理は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

正の結果を得るには、曲線が閉じていて反時計回りに向いていることを確認してください。
ベクトル場の関数が、曲線で囲まれた領域全体で連続であることを確認してください。
面積問題を簡単にするには、面積が x dy または -y dx の線積分に等しいという恒等式を使ってください。
定理の標準形を適用する前に、領域が単連結であることを確認してください。

Avoid these traps

Common Mistakes

開曲線に使うこと。
符号を間違えること（時計回り）。

Common questions

Frequently Asked Questions

グリーンの定理は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

グリーンの定理の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

開曲線に使うこと。符号を間違えること（時計回り）。

正の結果を得るには、曲線が閉じていて反時計回りに向いていることを確認してください。ベクトル場の関数が、曲線で囲まれた領域全体で連続であることを確認してください。面積問題を簡単にするには、面積が x dy または -y dx の線積分に等しいという恒等式を使ってください。定理の標準形を適用する前に、領域が単連結であることを確認してください。

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Green's theorem
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
Britannica, Green's theorem
Wikipedia, Green's theorem