積の微分法

Core idea

Overview

積の微分法について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。

When to use: 積の微分法は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

Why it matters: 積の微分法の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

積の法則の導出

積の微分法は、2つの関数 u(x) と v(x) の積を微分します。これは、便利な項を加算・減算することによって基本原理から導出されます。

関連する極限が存在します。

1

基本原理から始める:

微分の定義を $f (x) = u (x) v (x)$ に適用します。

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

u(x+h)v(x) を加算および減算する:

これにより、式の値は変えずに形が変わります。

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

グループ化して因数分解する:

2つの差分商に分割し、共通項をくくり出します。

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

極限を取る:

$h \to 0$ および $u (x + h) \to u (x)$ のとき、商は導関数になります。

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

uを主変数にする

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

$v \frac{d u}{d x}$ 項を減算し、 $\frac{d v}{d x}$ で割ることにより、 $u$ を分離する。

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

vを主変数にする

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

$u \frac{d v}{d x}$ 項を減算し、 $\frac{d u}{d x}$ で割ることにより、 $v$ を分離する。

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

du/dx について解く

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

$u \frac{d v}{d x}$ 項を減算し、 $v$ で割ることにより $\frac{d u}{d x}$ を分離します。

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

dv/dx について解く

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

$v \frac{d u}{d x}$ 項を減算し、 $u$ で割ることにより $\frac{d v}{d x}$ を分離します。

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

辺の長さが独立変数の関数である長方形を想像してください。その面積の変化率は、幅の変化率（現在の高さでスケールされたもの）の和です。

dy/dx

2つの関数 u と v の積の独立変数 x に関する瞬間変化率。

x が変化するにつれて、積 u*v で表される全体の量がどれだけ速く増加または減少するか。

u

特定の点 x における最初の関数の値。

積に対する最初の因子の現在の「大きさ」または「貢献度」。

v

特定の点 x における2番目の関数の値。

積に対する第二因子の現在の『大きさ』または『寄与』。

du/dx

第一関数 u の x に関する瞬間変化率。

第一因子 u が、v とは独立に、x の変化に伴ってどれだけ速く変化するか。

dv/dx

第二関数 v の x に関する瞬間変化率。

第二因子 v が、u とは独立に、x の変化に伴ってどれだけ速く変化するか。

Signs and relationships

+: 積の全変化率は、二つの異なる寄与の和である：v の変化率に u を掛けたものと、u の変化率に v を掛けたもの。

Free study cues

Insight

Canonical usage

積の法則は、2つの他の関数の積である関数を微分する際に次元の整合性を確保します。このとき導関数の単位は、関数の積の単位を独立変数の単位で割ったものになります。

One free problem

Practice Problem

次の条件を使って、積の微分法を求めてください。必要な値を式に代入し、単位と桁数を確認して答えてください。条件: 5, 10, 2, 4。

Hint: 積の微分法の式に既知の値を代入し、単位、符号、分母と分子の対応を確認しながら計算してください。問題文で与えられた条件を先に整理すると解きやすくなります。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

積の微分法は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。関連する記号: e^-x。

Study smarter

Tips

微分する前に、uとvを明確にラベル付けしてください。
代数ミスを避けるため、duとdvを別々に計算してください。
足し合わされる2つの項の順序は重要でないことを覚えておいてください。
式を代入するときは、符号を正しく保つために括弧を使ってください。

Avoid these traps

Common Mistakes

導関数だけを掛けること（u'v'）。
符号ミス。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

積の微分法は、2つの関数 u(x) と v(x) の積を微分します。これは、便利な項を加算・減算することによって基本原理から導出されます。

積の微分法は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

積の微分法の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

導関数だけを掛けること（u'v'）。符号ミス。

積の微分法は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。関連する記号: e^-x。

微分する前に、uとvを明確にラベル付けしてください。代数ミスを避けるため、duとdvを別々に計算してください。足し合わされる2つの項の順序は重要でないことを覚えておいてください。式を代入するときは、符号を正しく保つために括弧を使ってください。

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

基本原理から始める:

u(x+h)v(x) を加算および減算する:

グループ化して因数分解する:

極限を取る:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources