全角運動量

Core idea

Overview

全角運動量の大きさは ħ sqrt(j(j+1)) です。

When to use: 原子や分子の水素様量子数または単純な結合像が必要な場合に使用してください。

Why it matters: これらは、殻の充填、角運動量、軌道形状の背後にある標準的な量子数規則です。

Symbols

Variables

J = J

J

J

Variable

Walkthrough

Derivation

全角運動量の大きさの導出

全角運動量の大きさは、量子力学における角運動量二乗演算子 J² の固有値方程式から導出されます。

全角運動量演算子 J は基本交換関係 [ $J_{i}$ , $J_{j}$ ] = iħ $e_{ij k}$ $J_{k}$ に従います。
二乗演算子 J² は各成分 $J_{i}$ と可換です（具体的には [J², $J_{z}$ ] = 0）。
量子力学におけるベクトル演算子の大きさは |J| = sqrt(⟨J²⟩) と定義されます。

1

固有値方程式の定義

角運動量演算子の代数（リー代数 su(2) から導出）から、二乗演算子 J² の固有値は j(j+1)ħ² の形に制約されます。ここで j は全角運動量量子数です。

J^{2} ∣ j, m_{j} ⟩ = j (j + 1) ℏ^{2} ∣ j, m_{j} ⟩

Note: この結果は、回転群の表現空間が有限次元であるという要件に由来します。

2

大きさとの関係

角運動量ベクトルの大きさは J² の期待値の平方根です。固有値の平方根を直接取ることで標準的な公式が得られます。

J = ⟨ J^{2} ⟩ = j (j + 1) ℏ^{2}

3

Simplify

平方根から定数 ħ² を取り出すことで式が完成します。

J = ℏ j (j + 1)

Result

J = ℏ j (j + 1)

Source: Chemistry LibreTexts, angular momentum in the hydrogen atom, accessed 2026-04-09

Why it behaves this way

Intuition

全角運動量 J は、固定軸（通常は z 軸）の周りを歳差運動するベクトルとして表されます。不確定性原理により、ベクトルは正確に軸方向を向くことはできず、代わりに円錐を描きます。このベクトルの長さは最大可能射影よりもわずかに長くなり、そのため公式は単に j ではなく sqrt(j(j+1)) を使用します。

J

全角運動量の大きさ

粒子の回転運動と内部スピン運動を合わせた「全長」。

h

換算プランク定数

宇宙における角運動量の基本的な「ものさし」または量子。

j

全角運動量量子数

軌道とスピンの組み合わせの「サイズラベル」として機能する、非負の整数または半整数。

Signs and relationships

j(j+1): +1項は、量子力学演算子の非可換性から生じます。これにより、全大きさが常に最大射影（ $m_{j}$ ）よりも大きくなり、ハイゼンベルクの不確定性原理を満たします。
sqrt: 角運動量演算子の二乗（J²）の固有値を線形の大きさの値に変換するために使用されます。

One free problem

Practice Problem

量子数 j が増加すると、全角運動量の大きさはどのようにスケールしますか?

Hint: 式 J = ħ√j(j+1) を参照してください。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

微細構造の角運動量状態の大きさを読み取る際、全角運動量を用いて測定値からJを計算する。その結果は、設計が安全と見なされる前に荷重、余裕、部品サイズの確認に役立つため重要である。

Study smarter

Tips

J は軌道角運動量とスピン角運動量のベクトル和です。
量子数 j は、許容される全角運動量の大きさを表します。
z 成分は、 $m_{j}$ ħ として引き続き個別に量子化されます。

Avoid these traps

Common Mistakes

軌道配向と軌道エネルギーを混同する。
利用可能な状態の数を数える際にスピンを無視する。
角運動量の大きさとそのz成分を混同する。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

全角運動量の大きさは、量子力学における角運動量二乗演算子 J² の固有値方程式から導出されます。

原子や分子の水素様量子数または単純な結合像が必要な場合に使用してください。

これらは、殻の充填、角運動量、軌道形状の背後にある標準的な量子数規則です。

軌道配向と軌道エネルギーを混同する。利用可能な状態の数を数える際にスピンを無視する。角運動量の大きさとそのz成分を混同する。

微細構造の角運動量状態の大きさを読み取る際、全角運動量を用いて測定値からJを計算する。その結果は、設計が安全と見なされる前に荷重、余裕、部品サイズの確認に役立つため重要である。

J は軌道角運動量とスピン角運動量のベクトル和です。量子数 j は、許容される全角運動量の大きさを表します。 z 成分は、m_j ħ として引き続き個別に量子化されます。

References

Sources

Chemistry LibreTexts, hydrogen atom, angular momentum, and bonding orbitals chapters, accessed 2026-04-09
Chemistry LibreTexts, bonding and antibonding orbitals, accessed 2026-04-09
Chemistry LibreTexts, angular momentum in the hydrogen atom, accessed 2026-04-09
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Atomic and molecular orbital - Wikipedia
Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics
Sakurai, J. J., & Napolitano, Jim. Modern Quantum Mechanics