Teorema de Green Calculator
Relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada a uma integral dupla sobre a região que ela envolve.
Formula first
Overview
O Teorema de Green estabelece uma conexão fundamental entre a integral de linha ao longo de uma curva fechada simples e a integral dupla sobre a região plana que ela envolve. É essencialmente uma versão bidimensional do Teorema de Stokes e é usado para relacionar a rotação ou circulação local em um campo vetorial ao rotacional líquido sobre uma área.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: Aplique este teorema ao avaliar uma integral de linha sobre uma curva fechada e suave por partes no plano xy, onde a integral de área do rotacional é mais fácil de computar. Requer que as funções componentes L e M tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em toda a região delimitada pela curva.
Why it matters: É essencial para calcular trabalho e circulação em física e dinâmica de fluidos sem a necessidade de parametrizar caminhos de contorno complexos individualmente. Também fornece uma base matemática para usar integrais de linha para calcular a área de formas irregulares, que é o princípio operacional por trás do planímetro.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Usar para curvas abertas.
- Sinal errado (orientação no sentido horário).
One free problem
Practice Problem
Avalie a integral de linha ∮_C (y² dx + x² dy) onde C é o limite do retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3, orientado no sentido anti-horário.
Hint: Converta a integral de linha em uma integral dupla da expressão (∂M/∂x − ∂L/∂y) sobre a região retangular.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Green's theorem
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Britannica, Green's theorem
- Wikipedia, Green's theorem