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Traço de Matriz Calculator

A soma dos elementos diagonais de uma matriz quadrada, que também é igual à soma de seus autovalores.

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Result
Ready
Matrix Trace

Formula first

Overview

O traço de uma matriz quadrada é o valor escalar definido como a soma dos elementos ao longo de sua diagonal principal. É um operador fundamental na álgebra linear que é igual à soma dos autovalores da matriz e permanece invariante sob transformações de similaridade.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Apply it well

When To Use

When to use: Use o traço quando precisar calcular a soma dos autovalores ou identificar propriedades invariantes de uma transformação linear. Também é aplicado ao calcular o produto interno de duas matrizes ou analisar a divergência de um campo vetorial no cálculo tensorial.

Why it matters: O traço é vital porque simplifica operações complexas de matriz em um único escalar que captura informações essenciais sobre o sistema. Em física, é usado em mecânica quântica para encontrar valores esperados e em termodinâmica para definir a função de partição.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Tentar calcular o traço para uma matriz não quadrada.
  • Assumir que tr(ABC) = tr(ACB); apenas permutações cíclicas como tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) são garantidas.
  • Confundir o traço com o determinante.

One free problem

Practice Problem

Uma matriz quadrada 2×2 A tem elementos diagonais a₁₁ = 14 e a₂₂ = -5. Calcule o traço (result) da matriz A.

Hint: O traço é encontrado somando os números localizados na diagonal principal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.