Teorema do Posto-Nulidade Calculator
Relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de um mapa linear ao seu espaço de domínio.
Formula first
Overview
No contexto de um mapa linear T: V → W onde V é de dimensão finita, este teorema fornece uma restrição fundamental na relação entre as dimensões do núcleo e da imagem.
Symbols
Variables
(V) = Dimension of Domain, (T) = Rank, (T) = Nullity
Apply it well
When To Use
When to use: Este teorema é a ferramenta mais fundamental em álgebra linear de graduação para determinar as dimensões de subespaços associados a transformações lineares.
Why it matters: Ele liga o conceito de injetividade (conectado à nulidade) e sobrejetividade (conectado ao posto) à geometria do espaço de domínio.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Confundir a dimensão do contradomínio (W) com a dimensão do domínio (V).
- Assumir que o teorema se aplica a transformações não lineares.
One free problem
Practice Problem
Dada uma transformação linear T: ℝ³ → ℝ² onde o núcleo é uma linha que passa pela origem (dimensão 1), calcule o posto de T.
Hint: A dimensão do domínio é 3. Se a nulidade for 1, use o teorema: Posto + Nulidade = Dim(V).
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
- Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
- Wikipedia: Rank-nullity theorem
- Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
- Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
- Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
- Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'