MathematicsCálculoA-Level
CambridgeEdexcelAQACCEAOCRWJECAPIB

Área Sob a Curva

Cálculo de integral definida.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Esta fórmula representa o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, que fornece um método computacional para avaliar integrais definidas. Ela define a área líquida sob uma curva como a diferença entre os valores da antiderivada da função avaliados nos limites superior e inferior de integração.

When to use: Use esta fórmula ao calcular a mudança acumulada de uma função contínua em um intervalo específico [a, b]. É aplicável sempre que uma antiderivada F(x) puder ser identificada para o integrando f(x) tal que F'(x) = f(x).

Why it matters: Esta relação é a base do cálculo integral, permitindo que cientistas resolvam problemas complexos em física, engenharia e economia. Ela transforma o problema geométrico de encontrar áreas em um cálculo algébrico direto de avaliação.

Symbols

Variables

A = Area, F(b) = Upper Limit Val, F(a) = Lower Limit Val

Area
F(b)
Upper Limit Val
Variable
F(a)
Lower Limit Val
Variable

Walkthrough

Derivation

Compreendendo a Área Sob uma Curva

Uma integral definida fornece a área assinada entre uma curva e o eixo x em um intervalo.

  • f(x) é contínua em [a, b].
  • Áreas abaixo do eixo x contribuem com valores negativos para a integral.
1

Escrever a Integral Definida:

Integrar de a até b para acumular área assinada.

2

Usar o Teorema Fundamental do Cálculo:

Encontrar uma antiderivada F(x), então substituir os limites.

Note: Se você quiser a área geométrica total, divida nos cruzamentos do eixo x e use valores absolutos.

Result

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)

Visual intuition

Graph

Graph type: polynomial

Why it behaves this way

Intuition

Imagine fatiar a região sob a curva f(x) em retângulos infinitamente finos e verticais, cada um com altura f(x) e largura dx, e então somar as áreas de todas essas fatias de x=a a x=b para encontrar a área total.

Term
A quantidade líquida acumulada ou a mudança total da função f(x) sobre o intervalo [a, b].
Esta é a 'quantidade' total que se acumulou ou mudou do ponto inicial 'a' para o ponto final 'b', conforme ditado pela função f(x).
Term
A taxa instantânea ou o valor da quantidade que está sendo acumulada em um ponto específico x.
Isso representa a 'altura' da curva em qualquer x dado, indicando quanto está sendo adicionado (ou subtraído) naquele momento exato.
Term
Um incremento infinitesimalmente pequeno ao longo da variável independente x.
Esta é a 'largura' de uma fatia ou intervalo infinitamente fina sobre a qual f(x) é considerada constante para fins de somatório.
Term
A operação de integração definida, realizando um somatório contínuo de f(x) multiplicado por dx sobre o intervalo [a, b].
É o processo de somar um número infinito de contribuições infinitesimalmente pequenas (f(x) * dx) de x=a a x=b.
Term
A mudança líquida na antiderivada F(x) do limite inferior 'a' para o limite superior 'b'.
Esta é a quantidade total acumulada no ponto final 'b' menos a quantidade total acumulada no ponto inicial 'a', resultando diretamente na mudança total sobre o intervalo.

Signs and relationships

  • F(b) - F(a): A subtração calcula a mudança líquida na quantidade acumulada F(x) entre o limite superior b e o limite inferior a. Um resultado positivo indica um aumento líquido na quantidade acumulada, enquanto um resultado negativo

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta equação é usada para determinar uma grandeza acumulada, em que a unidade do resultado 'A' é o produto da unidade da função 'f(x)' e da unidade da variável de integração 'x'.

One free problem

Practice Problem

Uma partícula se move ao longo de uma trajetória onde a antiderivada de sua função velocidade representa sua posição. Se a posição no final da jornada (Fb) é de 50 metros e a posição no início (Fa) é de 15 metros, calcule o deslocamento total (A) representando a área sob a curva de velocidade.

Hint: Subtraia o valor da antiderivada inicial do valor da antiderivada final.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de distance travelled given velocity graph, Area Under Curve é utilizado para calcular Area from Upper Limit Val and Lower Limit Val. O resultado importa porque ajuda a converter uma quantidade variável em um total como área, distância, volume, trabalho ou custo.

Study smarter

Tips

  • Sempre verifique se a função é contínua em todo o intervalo [a, b].
  • Preste muita atenção aos sinais ao subtrair o valor do limite inferior do valor do limite superior.
  • Identifique a antiderivada com precisão antes de substituir os valores de contorno.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Ordem da subtração (F(a)-F(b)).
  • Esquecer de integrar primeiro.

Common questions

Frequently Asked Questions

Uma integral definida fornece a área assinada entre uma curva e o eixo x em um intervalo.

Use esta fórmula ao calcular a mudança acumulada de uma função contínua em um intervalo específico [a, b]. É aplicável sempre que uma antiderivada F(x) puder ser identificada para o integrando f(x) tal que F'(x) = f(x).

Esta relação é a base do cálculo integral, permitindo que cientistas resolvam problemas complexos em física, engenharia e economia. Ela transforma o problema geométrico de encontrar áreas em um cálculo algébrico direto de avaliação.

Ordem da subtração (F(a)-F(b)). Esquecer de integrar primeiro.

No caso de distance travelled given velocity graph, Area Under Curve é utilizado para calcular Area from Upper Limit Val and Lower Limit Val. O resultado importa porque ajuda a converter uma quantidade variável em um total como área, distância, volume, trabalho ou custo.

Sempre verifique se a função é contínua em todo o intervalo [a, b]. Preste muita atenção aos sinais ao subtrair o valor do limite inferior do valor do limite superior. Identifique a antiderivada com precisão antes de substituir os valores de contorno.

References

Sources

  1. Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
  2. Wikipedia: Fundamental theorem of calculus
  3. Thomas' Calculus
  4. Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
  5. Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
  6. Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2018). Thomas' Calculus (14th ed.). Pearson.
  7. AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)