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Teorema da Convolução (Laplace)

Afirma que a transformada de Laplace de uma convolução de duas funções é o produto de suas transformadas individuais.

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Core idea

Overview

Este teorema fornece um método poderoso para encontrar transformadas inversas de Laplace de produtos de funções usando a integral de convolução.

When to use: Essencial para resolver equações diferenciais não homogêneas e analisar sistemas lineares invariantes no tempo (LTI).

Why it matters: Converte a complexa operação de convolução no domínio do tempo em simples multiplicação algébrica no domínio da frequência (s).

Symbols

Variables

F(s)G(s) = L{f * g}, F(s) = F(s), G(s) = G(s)

F(s)G(s)
L{f * g}
Transform of the convolution
F(s)
F(s)
Transform of the first function
G(s)
G(s)
Transform of the second function

Walkthrough

Derivation

Derivação/Compreensão do Teorema da Convolução (Laplace)

Esta derivação demonstra que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é equivalente ao produto de suas transformadas de Laplace individuais.

  • As funções f(t) e g(t) são contínuas por partes em [0, ∞) e de ordem exponencial.
  • As transformadas de Laplace F(s) = ℬ{f(t)} e G(s) = ℬ{g(t)} existem.
  • A ordem de integração pode ser trocada (o Teorema de Fubini se aplica).
1

Começar com a definição da transformada de Laplace de uma convolução:

Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace à convolução de duas funções, f(t) e g(t), que é em si uma integral.

2

Alterar a ordem de integração:

A região de integração é 0 ≤ τ ≤ t < ∞. Trocando a ordem de integração, reescrevemos os limites para integrar em relação a t primeiro, depois τ.

3

Fazer uma substituição na integral interna:

Seja u = t - τ, então t = u + τ e dt = du. Esta substituição transforma a integral interna em uma forma que se assemelha a uma transformada de Laplace.

4

Reconhecer as transformadas de Laplace:

A integral interna é a definição de G(s) = ℬ{g(t)}. Fatorando G(s) deixamos a definição de F(s) = ℬ{f(t)}, provando assim o teorema.

Result

Source: Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for F(s)G(s)

Isolar F(s)G(s)

Comece pelo Teorema da Convolução (Laplace). A expressão F(s)G(s) já está isolada, então a tarefa é identificá-la como sujeito e apresentá-la na notação alvo.

Difficulty: 1/5

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Visual intuition

Graph

Graph type: exponential

Why it behaves this way

Intuition

Este teorema fornece uma perspectiva poderosa de 'transformação de domínio', onde uma operação complexa como a convolução no domínio do tempo é simplificada em uma multiplicação algébrica direta no domínio da frequência.

Term
O operador de transformada de Laplace, que converte uma função do domínio do tempo (t) para o domínio da frequência complexa (s).
É como traduzir o comportamento de um sinal ao longo do tempo em seus componentes de frequência, revelando sua 'impressão digital' espectral.
Term
A integral de convolução de duas funções, f(t) e g(t). Descreve como a forma de uma função modifica a forma de outra, frequentemente representando a saída de um sistema linear.
Imagine 'misturar' ou 'espalhar' uma função sobre outra, onde a segunda função dita o peso ou a influência em cada ponto.
Term
A transformada de Laplace da função f(t), representando f(t) no domínio da frequência complexa.
Esta é a 'assinatura' no domínio da frequência de f(t), detalhando suas frequências constituintes em vez de sua evolução temporal.
Term
A transformada de Laplace da função g(t), representando g(t) no domínio da frequência complexa.
Semelhante a F(s), esta é a 'assinatura' no domínio da frequência de g(t).

Free study cues

Insight

Canonical usage

Garante consistência dimensional entre a transformada de Laplace de uma convolução e o produto das transformadas de Laplace individuais, onde as unidades da variável de Laplace s são tempo inverso.

One free problem

Practice Problem

Dadas as transformadas individuais F(s) = 4 e G(s) = 8, calcule a transformada de Laplace da convolução (f * g)(t).

Hint: De acordo com o teorema, a transformada da convolução é simplesmente o produto das transformadas individuais.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de signal processing, the output of a system is the convolution of its input signal and its impulse response; this theorem allows us to find the output using multiplication in the s-domain.

Study smarter

Tips

  • A convolução f * g é definida como a integral de 0 a t de f(τ)g(t-τ) dτ.
  • Lembre-se de que a convolução é comutativa, ou seja, f * g = g * f.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confundir a convolução f*g com o produto pontual f(t)g(t).
  • Esquecer que o teorema só se aplica se as transformadas F(s) e G(s) existirem para a mesma região de convergência.

Common questions

Frequently Asked Questions

Esta derivação demonstra que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é equivalente ao produto de suas transformadas de Laplace individuais.

Essencial para resolver equações diferenciais não homogêneas e analisar sistemas lineares invariantes no tempo (LTI).

Converte a complexa operação de convolução no domínio do tempo em simples multiplicação algébrica no domínio da frequência (s).

Confundir a convolução f*g com o produto pontual f(t)g(t). Esquecer que o teorema só se aplica se as transformadas F(s) e G(s) existirem para a mesma região de convergência.

No caso de signal processing, the output of a system is the convolution of its input signal and its impulse response; this theorem allows us to find the output using multiplication in the s-domain.

A convolução f * g é definida como a integral de 0 a t de f(τ)g(t-τ) dτ. Lembre-se de que a convolução é comutativa, ou seja, f * g = g * f.

References

Sources

  1. Advanced Engineering Mathematics
  2. Wikipedia: Laplace transform
  3. Differential Equations with Boundary-Value Problems by Dennis G. Zill
  4. Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems.
  5. Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics.
  6. Wikipedia: Convolution theorem
  7. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
  8. Boyce, DiPrima, and Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems