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Função de Gasto

Determina o gasto mínimo necessário para atingir um dado nível de utilidade a preços específicos.

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e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

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Core idea

Overview

A função de gasto, denotada como $e(\mathbf{p}, u)$, é um conceito fundamental em microeconomia que representa o custo mínimo para atingir um nível específico de utilidade ($u$) dado um vetor de preços ($\mathbf{p}$) para bens. Ela é derivada do problema de maximização da utilidade do consumidor e é crucial para entender o comportamento do consumidor, a análise de bem-estar e a dualidade entre maximização da utilidade e minimização do gasto. *Para fins desta calculadora, a função de utilidade subjacente e o pacote de consumo são simplificados para permitir a manipulação algébrica direta de preço, utilidade e gasto.*

When to use: Aplique esta função quando precisar calcular o menor custo possível para atingir um nível de utilidade alvo, dados os preços de mercado. É particularmente útil na economia do bem-estar para medir o custo de vida, variações compensatórias e variações equivalentes, ou para projetar programas de subsídio ótimos.

Why it matters: A função de gasto é central para a análise de bem-estar, permitindo que os economistas quantifiquem o valor monetário das mudanças na utilidade ou nos preços. Ela sustenta a derivação das funções de demanda hicksianas (compensadas) e fornece uma ferramenta poderosa para entender como os consumidores ajustam seus gastos para manter um certo padrão de vida em meio a mudanças de preços, sem serem confundidos pelos efeitos de renda.

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

p

Price (simplified)

u

Utility Level

utils

x

Quantity (simplified)

units

U

Utility Function (simplified)

function

e

Minimum Expenditure

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Função Despesa

A função despesa define o custo mínimo para alcançar um nível de utilidade específico dadas as preços.

As preferências do consumidor são racionais, completas, transitivas, contínuas e localmente não saciadas.
Os preços são positivos e fixos.
A função utilidade é contínua e quase-côncava.
O consumidor busca minimizar a despesa sujeita a alcançar um nível de utilidade alvo.

Defina o Problema de Minimização de Despesas:

O consumidor escolhe um cesto de consumo $x$ para minimizar a despesa total $p \cdot x$ , sujeito a atingir pelo menos um nível de utilidade alvo $u$ da função de utilidade $U (x)$ .

x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

Forme o Lagrangiano:

O Lagrangiano é configurado para resolver este problema de otimização com restrições, onde $λ$ é o multiplicador de Lagrange que representa o custo marginal de aumentar a utilidade.

L (x, λ) = p \cdot x - λ (U (x) - u)

Condições de Primeira Ordem (CPOs):

As CPOs implicam que, no ótimo, a razão entre utilidade marginal e preço é igual em todos os bens, e igual ao inverso do multiplicador de Lagrange (a utilidade marginal do dinheiro).

\frac{\partial L}{\partial x _{i}} = p_{i} - λ \frac{\partial U}{\partial x _{i}} = 0 ⟹ p_{i} = λ M U_{i}

Resolva as Demandas de Hicks:

A resolução das CPOs resulta nas funções de demanda de Hicks (ou compensadas), que mostram a quantidade de cada bem demandada como uma função dos preços e do nível de utilidade alvo.

x^{*} = h (p, u)

Substitua na Função de Despesas:

Substitua as funções de demanda de Hicks de volta na função objetivo de despesas para obter a despesa mínima necessária para atingir a utilidade $u$ aos preços $p$ .

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Result

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

Visualize uma superfície multidimensional onde cada ponto representa uma combinação de bens e sua altura representa o custo total. A função de despesas encontra o ponto mais baixo nesta superfície de custo que ainda se encontra

Term

A despesa total mínima necessária para atingir um nível específico de utilidade.

Diz qual é a maneira absolutamente mais barata de alcançar um nível de satisfação desejado, dados os preços atuais de mercado.

Term

Um vetor que representa os preços de mercado para todos os bens disponíveis.

Quanto custa cada item individualmente.

Term

Um nível específico de utilidade ou satisfação que o consumidor deseja alcançar.

A quantidade desejada de 'felicidade' ou bem-estar.

Term

Um vetor que representa as quantidades de vários bens consumidos.

O cesto de compras específico de bens que um consumidor adquire.

Term

O custo monetário total de um cesto de consumo \mathbf{x}, calculado como a soma de (preço do bem i * quantidade do bem i) para todos os bens.

Sua conta total no caixa para um conjunto específico de compras.

Term

A função de utilidade, que quantifica a satisfação total ou bem-estar derivado do consumo de um cesto específico de bens \mathbf{x}.

Quanta satisfação você obtém de um cesto de compras particular.

Term

A operação matemática de encontrar o menor valor possível da função objetivo (despesa total) selecionando o cesto de consumo ótimo \mathbf{x}.

Você está ativamente procurando a maneira mais barata de satisfazer suas necessidades.

Term

Uma restrição garantindo que o cesto de consumo escolhido \mathbf{x} forneça pelo menos o nível de utilidade alvo u.

A satisfação que você obtém de suas compras deve ser igual ou maior que seu nível de felicidade desejado.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Dispêndio e preços são expressos em uma unidade monetária consistente, enquanto utilidade normalmente é tratada como medida ordinal e sem unidade.

Dimension note

O nível de utilidade (u) e a saída da função utilidade (U(x)) normalmente são considerados adimensionais ou atribuídos a unidades arbitrárias ("utils").

One free problem

Practice Problem

Using the simplified expenditure model $e = p \cdot u$ , if a good is priced at $p = 12$ per unit and the target utility level is $u = 50$ , what is the minimum expenditure required?

Hint: Use a função de gasto para Cobb-Douglas: $e = 2 u p_{1} p_{2}$ .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Utilizado por governos para calcular o custo de manter um certo padrão de vida para domicílios de baixa renda, informando políticas de redução da pobreza.

Study smarter

Tips

A função de gasto é não decrescente nos preços e crescente na utilidade.
É côncava nos preços, refletindo que um consumidor pode substituir bens relativamente mais caros.
O Lema de Shephard afirma que a demanda hicksiana por um bem é a derivada parcial da função de gasto em relação ao preço desse bem.
A função de gasto é homogênea de grau um nos preços (dobrar todos os preços dobra o gasto mínimo).

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir a função de gasto com a função de utilidade indireta (elas são inversas).
Assumir incorretamente uma função de utilidade específica ao derivar ou aplicar a função.
Interpretar mal o operador 'min' como um cálculo algébrico simples, em vez de um problema de otimização.

Common questions

Frequently Asked Questions

A função despesa define o custo mínimo para alcançar um nível de utilidade específico dadas as preços.

Aplique esta função quando precisar calcular o menor custo possível para atingir um nível de utilidade alvo, dados os preços de mercado. É particularmente útil na economia do bem-estar para medir o custo de vida, variações compensatórias e variações equivalentes, ou para projetar programas de subsídio ótimos.

A função de gasto é central para a análise de bem-estar, permitindo que os economistas quantifiquem o valor monetário das mudanças na utilidade ou nos preços. Ela sustenta a derivação das funções de demanda hicksianas (compensadas) e fornece uma ferramenta poderosa para entender como os consumidores ajustam seus gastos para manter um certo padrão de vida em meio a mudanças de preços, sem serem confundidos pelos efeitos de renda.

Confundir a função de gasto com a função de utilidade indireta (elas são inversas). Assumir incorretamente uma função de utilidade específica ao derivar ou aplicar a função. Interpretar mal o operador 'min' como um cálculo algébrico simples, em vez de um problema de otimização.

Utilizado por governos para calcular o custo de manter um certo padrão de vida para domicílios de baixa renda, informando políticas de redução da pobreza.

A função de gasto é não decrescente nos preços e crescente na utilidade. É côncava nos preços, refletindo que um consumidor pode substituir bens relativamente mais caros. O Lema de Shephard afirma que a demanda hicksiana por um bem é a derivada parcial da função de gasto em relação ao preço desse bem. A função de gasto é homogênea de grau um nos preços (dobrar todos os preços dobra o gasto mínimo).

References

Sources

Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
Wikipedia: Expenditure function
Mas-Colell, Whinston, and Green, Microeconomic Theory
Hal R. Varian Microeconomic Analysis
Walter Nicholson, Christopher Snyder Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions
Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R. Green Microeconomic Theory
Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Função de Gasto

Overview

Variables

Derivation

Defina o Problema de Minimização de Despesas:

Forme o Lagrangiano:

Condições de Primeira Ordem (CPOs):

Resolva as Demandas de Hicks:

Substitua na Função de Despesas:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Utility Function

Indirect Utility Function

Hicksian Demand Function

Frequently Asked Questions

Sources