Green Teoremi Calculator

Formula first

Overview

Green Teoremi, basit bir kapalı eğri etrafındaki çizgi integrali ile bu eğrinin çevrelediği düzlemsel bölge üzerindeki çift integral arasında temel bir bağlantı kurar. Esasen Stokes Teoremi'nin iki boyutlu bir versiyonudur ve bir vektör alanındaki yerel dönmeyi veya sirkülasyonu, bir alan üzerindeki net rotasyon ile ilişkilendirmek için kullanılır.

Symbols

Variables

$\text{Concept-only}$ = Note

Apply it well

When To Use

When to use: Bu teoremi, xy düzleminde kapalı, parça parça düzgün bir eğri üzerindeki çizgi integralini değerlendirirken uygulayın; bu durumda rotasyonun alan integralinin hesaplanması daha kolaydır. Bileşen fonksiyonları L ve M'nin, eğri tarafından sınırlanan bölge boyunca sürekli birinci dereceden kısmi türevlere sahip olmasını gerektirir.

Why it matters: Karmaşık sınır yollarını tek tek parametrelemeye gerek kalmadan fizikte ve akışkanlar dinamiğinde yapılan işi ve sirkülasyonu hesaplamak için esastır. Ayrıca, planimetrenin çalışma prensibi olan düzensiz şekillerin alanını hesaplamak için çizgi integrallerini kullanmanın matematiksel bir temelini sağlar.

Avoid these traps

Common Mistakes

• Açık eğriler için kullanmak.
• Yanlış işaret (saat yönünde yönlendirme).

One free problem

Practice Problem

C, 0 ≤ x ≤ 2 ve 0 ≤ y ≤ 3 ile tanımlanan dikdörtgenin saat yönünün tersine yönlendirilmiş sınırı olduğunda ∮_C (y² dx + x² dy) çizgi integralini değerlendirin.

Hint: Çizgi integralini, dikdörtgen bölge üzerindeki (∂M/∂x − ∂L/∂y) ifadesinin bir çift integraline dönüştürün.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
2. Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
3. Wikipedia: Green's theorem
4. Stewart, Calculus: Early Transcendentals
5. Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
6. Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
7. Britannica, Green's theorem
8. Wikipedia, Green's theorem