Eğilme Formülü (Eğilme Gerilmesi)

Core idea

Overview

Bu formül, kiriş malzemesinin doğrusal-elastik, izotropik ve homojen olduğunu ve kesitin eğilme düzlemine göre simetrik olduğunu varsayar. İç momenti, elemanın derinliği boyunca gerilme dağılımına bağlar ve gerilmenin tarafsız eksenden uzaklıkla doğrusal olarak değiştiğini gösterir. Negatif işaret, pozitif bir momentin basit mesnetli bir kirişin üst liflerinde basınca neden olduğunu gösteren bir kuraldır.

When to use: Bu formülü, saf eğilmeye veya diğer yüklerle birleşmiş eğilmeye maruz kalan bir kirişte iç normal gerilmeyi belirlemek için kullanın.

Why it matters: Yapısal güvenlik için temeldir, indüklenen eğilme geriliminin malzemenin akma dayanımını veya izin verilen gerilimini aşmamasını sağlar.

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

Eğilme Formülü Türetilmesi (Eğilme Gerilimi)

Özet: bu derivation relates internal bending moment nin beam e internal normal stress tarafından enforcing geometric compatibility (linear strain) ve constitutive behavior (Hooke's Law).

Kiriş başlangıçta düz ve prizmatiktir.
Malzeme doğrusal-elastik, homojen ve izotropiktir.
Düz kesitler eğilmeden sonra düz ve boyuna eksene dik kalır (Bernoulli-Euler hipotezi).
Kiriş saf eğilmeye maruz kalır.

1

Kinematik İlişki (Gerinim)

Bir eğrilik yarıçapı $ρ$ varsayarak, boyuna gerinim $ϵ_{x}$ nötr eksenden uzaklığa $y$ ile doğrusal olarak değişir.

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: Negatif işaret, pozitif eğilme (aşağı doğru içbükey) için nötr eksenin üzerindeki liflerin basınç altında olduğunu gösterir.

2

Yapısal İlişki (Hooke Yasası)

Hooke Yasası'nı ( $σ = E ϵ$ ) uygulayarak, gerilimi elastik modül $E$ ve eğrilik fonksiyonu olarak ifade ederiz.

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: Bu, malzemenin doğrusal elastik aralıkta olduğunu varsayar.

3

Moment Dengesi

İç moment $M$ , gerilim dağılımının oluşturduğu momentin kesitsel alan $A$ üzerindeki integralidir.

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: İntegral $\int y^{2} d A$ alan eylemsizlik momenti $I$ olarak tanımlanır.

4

Moment ve Eğriliğin İlişkilendirilmesi

Eğrilik terimini $1/ ρ$ uygulanan moment cinsinden çözmek için eğrilik ifadesini $I$ ile değiştiririz.

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: Terim $E I$ kirişin eğilme rijitliği olarak bilinir.

5

Son Eğilme Formülü

Nihai formülü elde etmek için eğrilik ifadesini gerilim denklemine geri koyun.

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: Birimlerin tutarlı olduğundan emin olun (örneğin, MPa için N/mm²).

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

$σ$ değişkenini yalnız bırak

σ = - \frac{M y}{I}

Formül zaten $σ$ özne olarak ifade edilmiştir.

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

M değişkenini yalnız bırak

M = - \frac{σ I}{y}

Denklemi M değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

I değişkenini yalnız bırak

I = - \frac{M y}{σ}

Denklemi I değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Görsel sezgi: hayal edin bending thick rubber eraser. olarak sen bend o, outer side stretches (tension) ve inner side compresses. neutral axis (center plane) remains unstretched. denklem betimler bu olarak linear 'ramp' nin stress: further sen move away den center (y), daha material must stretch veya squash e accommodate bend, ile slope nin bu ramp determined tarafından moment (M) ve resistance nin shape (I). Temel büyüklükler s, M, y, I olarak izlenir.

Term

Fiziksel anlam birinci: Bending Stress Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Sezgisel açıklama birinci: internal 'push' veya 'pull' kuvvet başına unit alan acting üzerinde material fibers de specific location. Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Term

Fiziksel anlam ikinci: Bending Moment Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Sezgisel açıklama ikinci: 'twisting' kuvvet applied e beam; larger M creates daha intense internal struggle arasında tension ve compression. Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Term

Fiziksel anlam üçüncü: Centroidal Distance Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Sezgisel açıklama üçüncü: 'leverage arm'; nasıl far sen dır den center çizgi burada no stress exists. Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Term

Fiziksel anlam dördüncü: alan Moment nin Inertia Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Sezgisel açıklama dördüncü: geometric 'stiffness'; o measures nasıl efficiently shape distributes material away den center e resist bending. Bağlam: Derivation nin Flexure formül (Bending Stress).

Signs and relationships

Negative sign (-): İşaret gerekçesi birinci: bu dir sign convention: o ensures şu için pozitif bending moment (causing curvature concave upward), noktalar above neutral axis (pozitif y) result içinde negatif stress (compression), while noktalar below (negatif y) result içinde pozitif stress (tension).

One free problem

Practice Problem

Bir kirişin atalet momenti I = 5000 cm^4'tür ve M = 10 kN-m'lik bir eğilme momentine maruz kalmaktadır. Tarafsız eksenden 10 cm uzaklıktaki bir noktadaki eğilme gerilmesini hesaplayın.

Hint: Tutarlılığı sağlamak için tüm birimleri Newton ve milimetreye dönüştürün (N/mm^2 = MPa).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Eğilme Formülü (Eğilme Gerilmesi) bağlamında Eğilme Formülü (Eğilme Gerilmesi), ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü tasarımın boyutlarını, performansını veya güvenlik payını kontrol etmeye yardımcı olur.

Study smarter

Tips

'y' mesafesinin kesitin ağırlık merkezi tarafsız ekseninden ölçüldüğünden emin olun.
M, y ve I birimlerinin tutarlı olduğundan emin olun (genellikle N, mm ve mm^4).
Maksimum gerilmenin en dış liflerde (maksimum 'y') meydana geldiğini unutmayın.

Avoid these traps

Common Mistakes

Eğilmenin belirli ekseni için yanlış Atalet Momenti (I) kullanmak.
Dış yüzeyden olan mesafeyi tarafsız eksenden olan mesafe ile karıştırmak.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Özet: bu derivation relates internal bending moment nin beam e internal normal stress tarafından enforcing geometric compatibility (linear strain) ve constitutive behavior (Hooke's Law).

Bu formülü, saf eğilmeye veya diğer yüklerle birleşmiş eğilmeye maruz kalan bir kirişte iç normal gerilmeyi belirlemek için kullanın.

Yapısal güvenlik için temeldir, indüklenen eğilme geriliminin malzemenin akma dayanımını veya izin verilen gerilimini aşmamasını sağlar.

Eğilmenin belirli ekseni için yanlış Atalet Momenti (I) kullanmak. Dış yüzeyden olan mesafeyi tarafsız eksenden olan mesafe ile karıştırmak.

Eğilme Formülü (Eğilme Gerilmesi) bağlamında Eğilme Formülü (Eğilme Gerilmesi), ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü tasarımın boyutlarını, performansını veya güvenlik payını kontrol etmeye yardımcı olur.

'y' mesafesinin kesitin ağırlık merkezi tarafsız ekseninden ölçüldüğünden emin olun. M, y ve I birimlerinin tutarlı olduğundan emin olun (genellikle N, mm ve mm^4). Maksimum gerilmenin en dış liflerde (maksimum 'y') meydana geldiğini unutmayın.

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

Kinematik İlişki (Gerinim)

Yapısal İlişki (Hooke Yasası)

Moment Dengesi

Moment ve Eğriliğin İlişkilendirilmesi

Son Eğilme Formülü

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Section Modulus

Frequently Asked Questions

Sources