تكامل السطح المتجه العام (التدفق) Calculator
تحسب هذه الصيغة تدفق حقل متجه عبر سطح بارامتري S عن طريق تكامل حاصل الضرب النقطي للحقل المتجه ومتجه السطح العمودي.
Formula first
Overview
يحسب التكامل السطحي صافي الحجم أو الكتلة لكل وحدة زمنية تمر عبر السطح. عن طريق تحديد معلمات السطح في المتغيرين u و v، يتم تحويل عنصر المساحة التفاضلي إلى حاصل الضرب الاتجاهي للمشتقات الجزئية، والذي يأخذ في الاعتبار كلاً من اتجاه السطح والتمدد الموضعي.
Symbols
Variables
F = Vector Field, S = Surface
Apply it well
When To Use
When to use: استخدم هذا عندما تحتاج إلى حساب تدفق حقل متجه (مثل السرعة أو المجال الكهربائي) عبر سطح محدد بمعادلات بارامترية.
Why it matters: إنه ضروري للظواهر الفيزيائية مثل حساب تدفق الكتلة للسوائل عبر غشاء أو تدفق مجال كهربائي عبر سطح في الكهرومغناطيسية (قانون غاوس).
Avoid these traps
Common Mistakes
- نسيان التحقق من اتجاه المتجه العمودي بالنسبة للعمودي على السطح.
- إهمال حساب حجم واتجاه حاصل الضرب الاتجاهي للمشتقات الجزئية بشكل صحيح.
One free problem
Practice Problem
احسب تدفق الحقل المتجه F = <0, 0, z> عبر النصف العلوي من الكرة الوحدة S (z >= 0) المُحددة بالاحداثيات الكروية (phi في [0, pi/2], theta في [0, 2pi]).
Hint: المتجه العمودي لكرة نصف قطرها R هو R*sin(phi)*<sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta), cos(phi)>.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. (2011). Vector Calculus.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition. Cengage Learning.