عامل التكامل للمعادلات التفاضلية العادية الخطية من الدرجة الأولى Calculator
توفر هذه الصيغة الحل العام لمعادلة تفاضلية عادية خطية من الدرجة الأولى بضرب المعادلة في عامل تكامل لتسهيل التكامل.
Formula first
Overview
بالنسبة لمعادلة تفاضلية عادية خطية قياسية على الصورة dy/dx + P(x)y = Q(x)، يقوم عامل التكامل μ(x) = exp(∫P(x)dx) بتحويل الطرف الأيسر إلى مشتقة حاصل الضرب μ(x)y. بدمج كلا الطرفين بالنسبة لـ x، نقوم بعزل y، مما يسمح بحل منهجي حتى عندما لا تكون المعادلة قابلة للفصل مباشرة. هذه الطريقة هي التقنية الأساسية لحل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الدرجة الأولى.
Symbols
Variables
y = Dependent Variable, mu = Integrating Factor, Q = Non-homogeneous Term
Apply it well
When To Use
When to use: استخدم هذه الطريقة عندما تواجه معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى يمكن إعادة ترتيبها جبرياً إلى الصورة القياسية الخطية dy/dx + P(x)y = Q(x).
Why it matters: إنها تشكل الأساس لنمذجة الأنظمة الديناميكية في الهندسة والفيزياء، مثل دوائر RC، والاضمحلال الإشعاعي، وعمليات تبريد السوائل.
Avoid these traps
Common Mistakes
- الفشل في وضع المعادلة التفاضلية العادية في الصورة القياسية (dy/dx + P(x)y = Q(x)) قبل تحديد P(x).
- إغفال ثابت التكامل التعسفي عند تقييم ∫μ(x)Q(x)dx.
- تبسيط غير صحيح للتكامل الأسي لـ μ(x).
One free problem
Practice Problem
حل المعادلة التفاضلية dy/dx + y = 1 لـ y(0) = 0.
Hint: حدد P(x)=1 و Q(x)=1. ثم أوجد μ(x) = .
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.