التكامل بالتعويض Calculator
قاعدة السلسلة العكسية للتكامل.
Formula first
Overview
التكامل بالتعويض هو طريقة رسمية في التفاضل والتكامل تستخدم لتبسيط تكامل الدوال المركبة عن طريق تغيير متغير التكامل. وهو بمثابة مكافئ تكاملي لقاعدة السلسلة، حيث يحول تكاملًا معقدًا إلى شكل أبسط يمكن التعرف فيه على المشتقة العكسية بسهولة أكبر. من خلال تحديد دالة ومشتقها داخل التكامل، يتم تحويل المتغير إلى u، مما يبسط عملية الحساب.
Symbols
Variables
k = Coefficient k, n = Power n, a = Lower limit a, b = Upper limit b, I = Integral result
Apply it well
When To Use
When to use: طبق هذه الطريقة عندما يحتوي التكامل على دالة ومشتقها، عادةً في شكل دالة مركبة. وهي مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع قوى كثيرات الحدود، أو المتطابقات المثلثية، أو المصطلحات الأسية حيث يكون الأس غير خطي.
Why it matters: هذه التقنية ضرورية لحل المعادلات التفاضلية المعقدة الموجودة في الفيزياء، مثل تلك التي تحكم حركة الكواكب أو الكهرومغناطيسية. إنها تسمح للعلماء بحل التكاملات التي كان من المستحيل تقييمها بطريقة أخرى، مما يوفر جسرًا بين التمثيلات الرمزية والحلول العددية.
Avoid these traps
Common Mistakes
- عدم استبدال dx بـ du.
- ترك x في تكامل u.
One free problem
Practice Problem
احسب التكامل المحدد لـ 2x(x² + 1)² dx من x = 0 إلى x = 1.
Hint: عوض u = x² + 1.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals.
- Wikipedia: Integration by substitution
- Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
- University Physics with Modern Physics, 15th Edition by Young and Freedman
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
- Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics (Integration)