الارتباط (PMCC) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

يعمل معامل ارتباط بيرسون لعزم المنتج (PMCC) كمقياس إحصائي لتحديد قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين متصلين. يقوم بتوحيد التغاير بين المتغيرات عن طريق حاصل ضرب انحرافاتهما المعيارية، مما ينتج عنه مؤشر بلا أبعاد يتراوح من -1 إلى +1.

When to use: طبق هذه الصيغة عند تحليل البيانات الكمية المقترنة لمعرفة ما إذا كان التغير في متغير واحد يتوافق مع تغير متناسب في متغير آخر. وهي مصممة خصيصًا للارتباطات الخطية وتفترض أن البيانات مأخوذة من توزيع طبيعي ثنائي المتغيرات.

Why it matters: هذا المعامل هو حجر الزاوية في النمذجة التنبؤية، مما يسمح للعلماء بتحديد الأنماط في بيانات المناخ، والاقتصاديين بتحوط المخاطر في الأسواق المالية، وعلماء الاجتماع بإيجاد روابط بين العوامل الديموغرافية. ويوفر أساسًا رياضيًا موضوعيًا للاستنتاج ما إذا كانت ظاهرتان مرتبطتين إحصائيًا أو مستقلتين.

Symbols

Variables

r = Correlation, $S_{x y}$ = Covariance Sum, $S_{xx}$ = Var Sum X, $S_{y y}$ = Var Sum Y

r

Correlation

Variable

S_{x y}

Covariance Sum

Variable

S_{xx}

Var Sum X

Variable

S_{y y}

Var Sum Y

Variable

Walkthrough

Derivation

الصيغة: معامل ارتباط اللحظة القصوى (PMCC)

يقيس معامل ارتباط بيرسون PMCC r قوة واتجاه الارتباط الخطي بين متغيرين، ويتراوح من -1 إلى 1.

العلاقة خطية تقريبًا.
القيم المتطرفة يمكن أن تؤثر بشدة على r.

1

تعريف الكميات الملخصة:

احسب مجموع الانحرافات المشتركة ومجموع المربعات لـ x و y.

S_{x y} = \sum (x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}), S_{xx} = \sum (x - \overset{x}{ˉ})^{2}, S_{y y} = \sum (y - \overset{y}{ˉ})^{2}

2

بيان صيغة PMCC:

اقسم مقياس يشبه التغاير على حاصل ضرب الانتشار لتطبيع النتيجة.

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Note: r=1 هو ارتباط خطي إيجابي تام، r=-1 ارتباط سلبي تام، و r=0 لا يوجد ارتباط خطي.

Result

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Source: AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)

Why it behaves this way

Intuition

تخيل رسمًا بيانيًا مبعثرًا لنقاط البيانات؛ يقيس معامل ارتباط اللحظة القصوى مدى تقارب هذه النقاط حول خط مستقيم وما إذا كان هذا الخط يميل للأعلى (ارتباط إيجابي) أو للأسفل (ارتباط سلبي).

Term

مقياس موحد لقوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين.

يتراوح من -1 (ارتباط خطي سلبي تام) إلى +1 (ارتباط خطي إيجابي تام)، حيث يشير 0 إلى عدم وجود ارتباط خطي.

Term

مجموع حاصل ضرب انحرافات كل متغير عن متوسطه.

يشير إلى ما إذا كانت المتغيرات تميل إلى الزيادة/النقصان معًا (إيجابي) أو في اتجاهات متعاكسة (سلبي).

Term

مجموع مربعات انحرافات المتغير x عن متوسطه.

يمثل التباين الكلي أو انتشار بيانات المتغير x.

Term

مجموع مربعات انحرافات المتغير y عن متوسطه.

يمثل التباين الكلي أو انتشار بيانات المتغير y.

Term

عامل تطبيع مشتق من التباينات الفردية لـ x و y.

يقوم بتغيير حجم الحد الشبيه بالتغاير (S_xy) بحيث يكون معامل الارتباط 'r' دائمًا بين -1 و +1، مما يجعله مقياسًا لا بعدي.

Signs and relationships

S_{xy}: تحدد إشارة S_xy مباشرة إشارة 'r'. يشير S_xy الموجب إلى أنه مع زيادة أحد المتغيرين، يميل الآخر إلى الزيادة (ارتباط إيجابي).
√(S_{xx)S_{yy}}: هذا الحد دائمًا موجب لأن S_xx و S_yy هما مجموع مربعات، وبالتالي غير سالبين. يعمل كعامل قياس، مما يضمن أن القيمة المطلقة لـ 'r' لا تتجاوز 1 أبدًا، وبالتالي توحيد مقياس الخطية.

Free study cues

Insight

Canonical usage

معامل ارتباط بيرسون (PMCC) هو مقياس إحصائي عديم الأبعاد، يُستخدم لقياس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين، ويُبلغ عنه كقيمة

Dimension note

معامل ارتباط بيرسون (PMCC) هو نسبة التباين المشترك لمتغيرين إلى حاصل ضرب انحرافاتهما المعيارية.

One free problem

Practice Problem

يبحث باحث في العلاقة بين ساعات الدراسة ودرجات الامتحانات. بالنظر إلى مجموع المنتجات Sxy = 45، ومجموع مربعات ساعات الدراسة Sxx = 25، ومجموع مربعات درجات الامتحانات Syy = 100، احسب معامل الارتباط r.

Hint: اقسم مجموع المنتجات على الجذر التربيعي لحاصل ضرب مجموع المربعات الفردية.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق العلاقة بين الطول ومقاس الحذاء، تُستخدم معادلة الارتباط (PMCC) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

تصور البيانات دائمًا باستخدام مخطط مبعثر أولاً لتأكيد وجود اتجاه خطي.
كن حذرًا من القيم الشاذة، حيث يمكن أن تزيد أو تقلل بشكل كبير من قيمة r.
تذكر أن الارتباط الصفري يعني عدم وجود علاقة خطية، ولكن قد تظل هناك علاقة غير خطية.

Avoid these traps

Common Mistakes

الخلط بين الارتباط والسببية.
r > 1 (خطأ في الحساب).

Common questions

Frequently Asked Questions

يقيس معامل ارتباط بيرسون PMCC r قوة واتجاه الارتباط الخطي بين متغيرين، ويتراوح من -1 إلى 1.

طبق هذه الصيغة عند تحليل البيانات الكمية المقترنة لمعرفة ما إذا كان التغير في متغير واحد يتوافق مع تغير متناسب في متغير آخر. وهي مصممة خصيصًا للارتباطات الخطية وتفترض أن البيانات مأخوذة من توزيع طبيعي ثنائي المتغيرات.

هذا المعامل هو حجر الزاوية في النمذجة التنبؤية، مما يسمح للعلماء بتحديد الأنماط في بيانات المناخ، والاقتصاديين بتحوط المخاطر في الأسواق المالية، وعلماء الاجتماع بإيجاد روابط بين العوامل الديموغرافية. ويوفر أساسًا رياضيًا موضوعيًا للاستنتاج ما إذا كانت ظاهرتان مرتبطتين إحصائيًا أو مستقلتين.

الخلط بين الارتباط والسببية. r > 1 (خطأ في الحساب).

في سياق العلاقة بين الطول ومقاس الحذاء، تُستخدم معادلة الارتباط (PMCC) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

تصور البيانات دائمًا باستخدام مخطط مبعثر أولاً لتأكيد وجود اتجاه خطي. كن حذرًا من القيم الشاذة، حيث يمكن أن تزيد أو تقلل بشكل كبير من قيمة r. تذكر أن الارتباط الصفري يعني عدم وجود علاقة خطية، ولكن قد تظل هناك علاقة غير خطية.

References

Sources

Wikipedia: Pearson product-moment correlation coefficient
Probability and Statistics for Engineers and Scientists by Walpole, Myers, Myers, Ye (9th Edition)
Moore, David S., and George P. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics.
Introduction to the Practice of Statistics by David S. Moore, George P. McCabe, Bruce A. Craig
Statistical Methods for the Social Sciences by Alan Agresti
Wikipedia article "Pearson correlation coefficient
AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)