MathematicsالمتجهاتA-Level
EdexcelAQAIBAbiturAPBaccalauréat GénéralBachilleratoCambridge

الضرب النقطي

احسب الضرب النقطي باستخدام المقادير والزاوية.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

الضرب النقطي، والمعروف أيضًا بالضرب القياسي، هو عملية جبرية تأخذ متجهين وتعيد قيمة عددية واحدة. هندسيًا، يمثل حاصل ضرب مقادير المتجهين وجيب تمام الزاوية بينهما، مما يحدد مدى توافق متجه مع الآخر.

When to use: استخدم هذه الصيغة عندما تحتاج إلى حساب الزاوية بين متجهين أو إيجاد إسقاط متجه على آخر. إنها الطريقة الأساسية لتحديد ما إذا كان متجهان متعامدين، حيث سيكون حاصل ضربهما النقطي صفرًا تمامًا في مثل هذه الحالات.

Why it matters: في الفيزياء، يستخدم الضرب النقطي لحساب الشغل المبذول بواسطة قوة على إزاحة. في علوم الكمبيوتر، إنه أساسي لتظليل الرسومات ثلاثية الأبعاد، وتحديد درجات التشابه في تعلم الآلة، ومعالجة الإشارات.

Symbols

Variables

|a| = Magnitude of a, |b| = Magnitude of b, = Angle θ, \mathbf{b} = Dot Product

|a|
Magnitude of a
Variable
|b|
Magnitude of b
Variable
Angle θ
deg
Dot Product
Variable

Walkthrough

Derivation

الصيغة: الضرب النقطي للمتجهات (الضرب القياسي)

ينتج الضرب النقطي كمية قياسية ويربط بين مكونات المتجه والزاوية بين المتجهات.

  • المتجهات في نفس البعد (على سبيل المثال، كلاهما ثلاثي الأبعاد).
  • المكونات معطاة في نظام إحداثيات متسق.
1

صيغة المكونات:

اضرب المكونات المقابلة واجمع.

2

صيغة المعيار والزاوية:

يوضح هذا كيف يعتمد الضرب النقطي على الزاوية بين المتجهات.

Note: إذا كان ، فإن المتجهات متعامدة.

Result

Source: Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics (Vectors)

Why it behaves this way

Intuition

تخيل إسقاط متجه على الآخر: الضرب النقطي هو طول هذا الإسقاط مضروبًا في مقدار المتجه الذي يتم إسقاطه عليه، مع إشارة تشير إلى المحاذاة.

Term
كمية قياسية تقيس مدى اتجاه متجهين في نفس الاتجاه، مع الأخذ في الاعتبار مقاديرهما.
إنه يخبرك بمدى 'تطابق' متجه مع الآخر. قيمة موجبة تعني أنهما يتوافقان بشكل عام، والصفر يعني أنهما متعامدان، وقيمة سالبة تعني أنهما يعارضان بعضهما البعض بشكل عام.
Term
طول قياسي غير سالب أو مقدار المتجه \mathbf{a}.
'قوة' أو 'حجم' المتجه . تؤدي المقادير الأكبر إلى ضرب نقطي أكبر لزاوية معينة.
Term
طول قياسي غير سالب أو مقدار المتجه \mathbf{b}.
'قوة' أو 'حجم' المتجه . تؤدي المقادير الأكبر إلى ضرب نقطي أكبر لزاوية معينة.
Term
عامل قياسي يحدد العلاقة الزاوية بين المتجهين.
يتراوح هذا العامل من -1 (المتجهات متعارضة) إلى 1 (المتجهات في نفس الاتجاه)، مع 0 للمتجهات المتعامدة. يقوم بقياس حاصل ضرب المقادير بناءً على اتجاههما النسبي.

Signs and relationships

  • \cosθ: يحدد جيب تمام الزاوية مباشرة إشارة ومقدار المكون الاتجاهي للضرب النقطي. إذا كانت حادة (0° < < 90°)، فإن θ تكون موجبة، مما يشير إلى المحاذاة.

Free study cues

Insight

Canonical usage

وحدة الضرب القياسي هي حاصل ضرب وحدات المتجهين المضروبين، حيث أن جيب تمام الزاوية عديم الأبعاد.

Dimension note

الحد cos(theta) هو بطبيعته عديم الأبعاد. الضرب القياسي نفسه ليس عديم الأبعاد بشكل عام؛ بُعده هو حاصل ضرب أبعاد المتجهين.

One free problem

Practice Problem

متجه قوة له مقدار 10 ومتجه إزاحة له مقدار 5. إذا كانت الزاوية بينهما 60°، أوجد الضرب النقطي الناتج.

Hint: جيب تمام 60° هو 0.5.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق الشغل المنجز = القوة ضرب المسافة، تُستخدم معادلة الضرب النقطي لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

  • نتيجة الضرب النقطي هي دائمًا رقم قياسي، وليست متجهًا أبدًا.
  • إذا كانت الزاوية 90°، فإن الضرب النقطي هو 0 لأن cos(90°) = 0.
  • يشير الضرب النقطي السلبي إلى أن المتجهات تشير بشكل عام إلى اتجاهات معاكسة (الزاوية > 90°).
  • عندما تكون المتجهات متوازية وفي نفس الاتجاه، يكون الضرب النقطي ببساطة حاصل ضرب مقاديرها.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • استخدام جيب الزاوية بدلاً من جيب التمام.
  • الخلط مع الضرب المتجهي (الاتجاهي).

Common questions

Frequently Asked Questions

ينتج الضرب النقطي كمية قياسية ويربط بين مكونات المتجه والزاوية بين المتجهات.

استخدم هذه الصيغة عندما تحتاج إلى حساب الزاوية بين متجهين أو إيجاد إسقاط متجه على آخر. إنها الطريقة الأساسية لتحديد ما إذا كان متجهان متعامدين، حيث سيكون حاصل ضربهما النقطي صفرًا تمامًا في مثل هذه الحالات.

في الفيزياء، يستخدم الضرب النقطي لحساب الشغل المبذول بواسطة قوة على إزاحة. في علوم الكمبيوتر، إنه أساسي لتظليل الرسومات ثلاثية الأبعاد، وتحديد درجات التشابه في تعلم الآلة، ومعالجة الإشارات.

استخدام جيب الزاوية بدلاً من جيب التمام. الخلط مع الضرب المتجهي (الاتجاهي).

في سياق الشغل المنجز = القوة ضرب المسافة، تُستخدم معادلة الضرب النقطي لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

نتيجة الضرب النقطي هي دائمًا رقم قياسي، وليست متجهًا أبدًا. إذا كانت الزاوية 90°، فإن الضرب النقطي هو 0 لأن cos(90°) = 0. يشير الضرب النقطي السلبي إلى أن المتجهات تشير بشكل عام إلى اتجاهات معاكسة (الزاوية > 90°). عندما تكون المتجهات متوازية وفي نفس الاتجاه، يكون الضرب النقطي ببساطة حاصل ضرب مقاديرها.

References

Sources

  1. Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
  2. Wikipedia: Dot product
  3. Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
  4. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
  5. Anton, Howard, and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra: Applications Version. 11th ed. Wiley, 2013.
  6. Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics (Vectors)