مقدار المتجه

Core idea

Overview

يمثل مقدار المتجه، والمعروف أيضًا بالمعيار الإقليدي، الطول الإجمالي أو المسافة للمتجه من نقطة أصله إلى طرفه في نظام إحداثيات ديكارتي ثلاثي الأبعاد. يتم حسابه عن طريق أخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعات المكونات المتعامدة للمتجه، مما يطبق بشكل فعال نظرية فيثاغورس على الفضاء ثلاثي الأبعاد.

When to use: طبق هذه الصيغة كلما احتجت إلى تحويل مكونات المتجه إلى قيمة عددية واحدة تمثل الحجم أو القوة أو المسافة. تُستخدم في السيناريوهات التي يكون فيها الاتجاه معروفًا أو معطى عبر المكونات ويُطلب المقدار الكلي فقط لإجراء المزيد من الحسابات.

Why it matters: هذا الحساب أساسي في الفيزياء لتحديد قوة المجالات القسرية، وسرعة جسم من مكونات السرعة، والمسافة بين النقاط في الفضاء. في الهندسة وعلوم الكمبيوتر، من الضروري تطبيع المتجهات لإنشاء متجهات الوحدة المستخدمة في محاكاة الإضاءة والحركة.

Symbols

Variables

$a_{x}$ = x-component, $a_{y}$ = y-component, $a_{z}$ = z-component, | $a$ | = Magnitude

a_{x}

x-component

Variable

a_{y}

y-component

Variable

a_{z}

z-component

Variable

∣ a ∣

Magnitude

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق مقدار المتجه

يتم العثور على مقدار المتجه باستخدام نظرية فيثاغورس في الأبعاد الثلاثية.

مكونات المتجه هي (x, y, z).
المحاور متعامدة.

1

إيجاد طول مستوى xy:

عامل x و y كساقين متعامدين في مستوى xy.

L^{2} = x^{2} + y^{2}

2

تضمين المكون z:

استخدام مثلث قائم الزاوية ثانٍ بساقين L و z.

∣ v ∣^{2} = L^{2} + z^{2}

3

أخذ الجذر التربيعي:

هذا يعطي مقدار المتجه.

∣ v ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Result

∣ v ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Vectors)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $a_{x}$

اجعل ax موضوع المعادلة

a_{x} = ∣ a ∣^{2} - a_{y}^{2} - a_{z}^{2}

أعد ترتيب المعادلة لجعل ax موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $a_{y}$

اجعل ay موضوع المعادلة

a_{y} = ∣ a ∣^{2} - a_{x}^{2} - a_{z}^{2}

أعد ترتيب المعادلة لجعل ay موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $a_{z}$

اجعل az موضوع المعادلة

a_{z} = ∣ a ∣^{2} - a_{x}^{2} - a_{y}^{2}

أعد ترتيب المعادلة لجعل az موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل المتجه كالوتر لمثلث قائم الزاوية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، حيث تشكل مكوناته الأضلاع المتعامدة على طول المحاور الإحداثية.

Term

الطول القياسي أو حجم المتجه \mathbf{a}.

يمثل الامتداد الكلي أو 'قوة' المتجه، بغض النظر عن اتجاهه.

Term

المكونات القياسية للمتجه \mathbf{a} على طول المحاور x، y، و z المتعامدة، على التوالي.

تشير هذه القيم إلى مقدار امتداد المتجه في كل اتجاه من الاتجاهات الثلاثة المتعامدة.

Signs and relationships

a_x^2+a_y^2+a_z^2: تربيع كل مكون يضمن أن مساهمته في الطول الكلي تكون دائمًا موجبة، بغض النظر عن الإشارة الأصلية للمكون. هذا ضروري لأن الطول دائمًا غير سالب.
√(...): عملية الجذر التربيعي تحول مجموع أطوال المربعات مرة أخرى إلى طول خطي، مما يضمن أن المقدار له نفس وحدات المكونات ويمثل مسافة فيزيائية.

Free study cues

Insight

Canonical usage

سيكون مقدار المتجه له نفس الوحدة والبعد مثل مكوناته الفردية.

One free problem

Practice Problem

لمتجه إزاحة مكونات 3 أمتار على طول المحور السيني، و 4 أمتار على طول المحور الصادي، و 12 مترًا على طول المحور العيني. احسب المقدار الكلي لهذه الإزاحة.

Hint: ربع كل مكون، اجمعها معًا، ثم أوجد الجذر التربيعي للمجموع.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق السرعة من متجه السرعة، تُستخدم معادلة مقدار المتجه لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

التربيعات تكون دائمًا موجبة، لذا لا يمكن أن يكون المقدار رقمًا سالبًا أبدًا.
إذا كان أي مكون صفراً، فإن الصيغة تتبسط نحو نظرية فيثاغورس ثنائية الأبعاد أو مسافة محور واحد.
تأكد من أن جميع المكونات بنفس الوحدات قبل الحساب.
لإيجاد متجه الوحدة، قسّم كل مكون على المقدار المحسوب.

Avoid these traps

Common Mistakes

جمع المكونات ثم أخذ الجذر.
أخطاء الإشارة التي تلغي التربيعات.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يتم العثور على مقدار المتجه باستخدام نظرية فيثاغورس في الأبعاد الثلاثية.

طبق هذه الصيغة كلما احتجت إلى تحويل مكونات المتجه إلى قيمة عددية واحدة تمثل الحجم أو القوة أو المسافة. تُستخدم في السيناريوهات التي يكون فيها الاتجاه معروفًا أو معطى عبر المكونات ويُطلب المقدار الكلي فقط لإجراء المزيد من الحسابات.

هذا الحساب أساسي في الفيزياء لتحديد قوة المجالات القسرية، وسرعة جسم من مكونات السرعة، والمسافة بين النقاط في الفضاء. في الهندسة وعلوم الكمبيوتر، من الضروري تطبيع المتجهات لإنشاء متجهات الوحدة المستخدمة في محاكاة الإضاءة والحركة.

جمع المكونات ثم أخذ الجذر. أخطاء الإشارة التي تلغي التربيعات.

في سياق السرعة من متجه السرعة، تُستخدم معادلة مقدار المتجه لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

التربيعات تكون دائمًا موجبة، لذا لا يمكن أن يكون المقدار رقمًا سالبًا أبدًا. إذا كان أي مكون صفراً، فإن الصيغة تتبسط نحو نظرية فيثاغورس ثنائية الأبعاد أو مسافة محور واحد. تأكد من أن جميع المكونات بنفس الوحدات قبل الحساب. لإيجاد متجه الوحدة، قسّم كل مكون على المقدار المحسوب.

References

Sources

Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Wikipedia: Euclidean vector
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics, 11th Edition
Halliday, Resnick, Walker Fundamentals of Physics
Stewart Calculus: Early Transcendentals
Wikipedia article 'Euclidean vector'
Wikipedia article 'Norm (mathematics)'

Overview

Variables

Derivation

إيجاد طول مستوى xy:

تضمين المكون z:

أخذ الجذر التربيعي:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Dot product

Frequently Asked Questions

Sources