صيغة الانحناء (إجهاد الانحناء)

Core idea

Overview

تفترض هذه الصيغة أن مادة العارضة مرنة خطياً، متجانسة، ومتجانسة، مع مقطع عرضي متماثل حول مستوى الانحناء. تربط بين العزم الداخلي وتوزيع الإجهاد عبر عمق العضو، مما يوضح أن الإجهاد يتغير خطياً مع المسافة من المحور المحايد. العلامة السالبة هي اصطلاح يشير إلى أن العزم الموجب يسبب انضغاطًا في الألياف العلوية لعوارض بسيطة الدعم.

When to use: استخدم هذه الصيغة لتحديد الإجهاد الطبيعي الداخلي في عارضة تخضع لانحناء نقي أو انحناء مختلط بأحمال أخرى.

Why it matters: إنها أساسية للسلامة الهيكلية، وتضمن أن إجهاد الانحناء المستحث لا يتجاوز قوة الخضوع أو الإجهاد المسموح به للمادة.

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق صيغة الانحناء (إجهاد الانحناء)

يربط هذا الاشتقاق عزم الانحناء الداخلي للعتبة بالإجهاد الطبيعي الداخلي عن طريق فرض التوافق الهندسي (الانفعال الخطي) والسلوك الدستوري (قانون هوك).

العتبة مستقيمة في الأصل ومنشورية.
المادة مرنة خطيًا، متجانسة، ومتناحية.
تبقى المقاطع المستوية مستوية وعمودية على المحور الطولي بعد الانحناء (فرضية برنولي-أويلر).
تخضع العتبة لانحناء نقي.

1

العلاقة الحركية (الانفعال)

بافتراض نصف قطر انحناء $ρ$ ، يتغير الانفعال الطولي $ϵ_{x}$ خطيًا مع المسافة $y$ من المحور المحايد.

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: تشير العلامة السالبة إلى أنه بالنسبة للانحناء الإيجابي (مقعر لأعلى)، تكون الألياف فوق المحور المحايد في حالة انضغاط.

2

العلاقة الدستورية (قانون هوك)

بتطبيق قانون هوك ( $σ = E ϵ$ )، نعبر عن الإجهاد كدالة لمعامل المرونة $E$ والانحناء.

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: يفترض هذا أن المادة ضمن النطاق المرن الخطي.

3

توازن العزم

العزم الداخلي $M$ هو تكامل العزم الناتج عن توزيع الإجهاد على مساحة المقطع العرضي $A$ .

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: يُعرف التكامل $\int y^{2} d A$ بأنه عزم القصور الذاتي المساحي $I$ .

4

ربط العزم والانحناء

نستبدل التكامل بـ $I$ لحل مصطلح الانحناء $1/ ρ$ بدلالة العزم المطبق.

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: يُعرف الحد $E I$ بصلابة الانحناء للعتبة.

5

صيغة الانحناء النهائية

نعوض تعبير الانحناء مرة أخرى في معادلة الإجهاد للحصول على الصيغة النهائية.

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: تأكد دائمًا من تناسق الوحدات (على سبيل المثال، N/mm² لـ MPa).

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

اجعل $σ$ موضوع المعادلة

σ = - \frac{M y}{I}

الصيغة معبر عنها بالفعل باستخدام $σ$ كموضوع.

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

اجعل M موضوع المعادلة

M = - \frac{σ I}{y}

أعد ترتيب المعادلة لعزل عزم الانحناء M عن طريق ضرب كلا الطرفين في I والقسمة على سالب y.

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

اجعل I موضوع المعادلة

I = - \frac{M y}{σ}

أعد ترتيب المعادلة لجعل I موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل ثني ممحاة مطاطية سميكة. أثناء ثنيها، يتمدد الجانب الخارجي (شد) وينضغط الجانب الداخلي. يبقى المحور المحايد (المستوى المركزي) غير ممدود. تصف المعادلة هذا على أنه 'منحدر' خطي للإجهاد: كلما ابتعدت عن المركز (y)، زاد مقدار تمدد المادة أو انضغاطها لاستيعاب الانحناء، مع تحديد ميل هذا المنحدر بواسطة العزم (M) ومقاومة الشكل (I).

Term

إجهاد الانحناء

القوة الداخلية 'الدفع' أو 'السحب' لكل وحدة مساحة تؤثر على ألياف المادة في موقع معين.

Term

عزم الانحناء

القوة 'الملتوية' المطبقة على العتبة؛ يخلق M أكبر صراعًا داخليًا أكثر حدة بين الشد والانضغاط.

Term

مسافة المركز

'ذراع الرافعة'؛ مدى بعدك عن خط المنتصف حيث لا يوجد إجهاد.

Term

عزم القصور الذاتي المساحي

'الصلابة الهندسية'؛ يقيس مدى كفاءة الشكل في توزيع المواد بعيدًا عن المركز لمقاومة الانحناء.

Signs and relationships

الإشارة السالبة (-): هذه اتفاقية إشارة: تضمن أنه بالنسبة لعزم الانحناء الإيجابي (الذي يسبب انحناء مقعر لأعلى)، فإن النقاط فوق المحور المحايد (y موجب) تؤدي إلى إجهاد سالب (انضغاط)، بينما النقاط أدناه (y سالب) تؤدي إلى إجهاد موجب (شد).

One free problem

Practice Problem

عارضة لها عزم قصور ذاتي I = 5000 cm^4 وتتعرض لعزم انحناء M = 10 kN-m. احسب إجهاد الانحناء عند نقطة 10 cm من المحور المتعادل.

Hint: قم بتحويل جميع الوحدات إلى نيوتن ومليمتر للحفاظ على الاتساق (N/mm^2 = MPa).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق حساب الإجهاد عند الحواف العلوية والسفلية لعوارض فولاذية على شكل حرف I تدعم سطح جسر للتأكد من أن الفولاذ لا يخضع تحت أحمال المرور، تُستخدم معادلة صيغة الانحناء (إجهاد الانحناء) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

Study smarter

Tips

تأكد من قياس المسافة 'y' من محور العزم المحايد للمقطع العرضي.
تحقق من اتساق الوحدات لـ M و y و I (عادةً N و mm و mm^4).
تذكر أن أقصى إجهاد يحدث عند الألياف الخارجية (أقصى 'y').

Avoid these traps

Common Mistakes

استخدام عزم القصور الذاتي (I) الخاطئ للمحور المحدد للانحناء.
الخلط بين المسافة من السطح الخارجي والمسافة من المحور المحايد.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يربط هذا الاشتقاق عزم الانحناء الداخلي للعتبة بالإجهاد الطبيعي الداخلي عن طريق فرض التوافق الهندسي (الانفعال الخطي) والسلوك الدستوري (قانون هوك).

استخدم هذه الصيغة لتحديد الإجهاد الطبيعي الداخلي في عارضة تخضع لانحناء نقي أو انحناء مختلط بأحمال أخرى.

إنها أساسية للسلامة الهيكلية، وتضمن أن إجهاد الانحناء المستحث لا يتجاوز قوة الخضوع أو الإجهاد المسموح به للمادة.

استخدام عزم القصور الذاتي (I) الخاطئ للمحور المحدد للانحناء. الخلط بين المسافة من السطح الخارجي والمسافة من المحور المحايد.

في سياق حساب الإجهاد عند الحواف العلوية والسفلية لعوارض فولاذية على شكل حرف I تدعم سطح جسر للتأكد من أن الفولاذ لا يخضع تحت أحمال المرور، تُستخدم معادلة صيغة الانحناء (إجهاد الانحناء) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

تأكد من قياس المسافة 'y' من محور العزم المحايد للمقطع العرضي. تحقق من اتساق الوحدات لـ M و y و I (عادةً N و mm و mm^4). تذكر أن أقصى إجهاد يحدث عند الألياف الخارجية (أقصى 'y').

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

العلاقة الحركية (الانفعال)

العلاقة الدستورية (قانون هوك)

توازن العزم

ربط العزم والانحناء

صيغة الانحناء النهائية

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Section Modulus

Frequently Asked Questions

Sources