Engineeringعلم الموادUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

معادلة هول-بيتش

تربط قوة الخضوع للمادة بحجم حبيباتها المتوسط.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

تحدد معادلة هول-بيتش العلاقة بين حجم حبيبات المادة وقوة خضوعها. وهي مبنية على مبدأ أن حدود الحبيبات تعمل كحواجز فيزيائية لحركة الانخلاعات، مما يعني أن تحسين بنية الحبيبات يقوي المعدن بفعالية.

When to use: طبق هذه المعادلة عند حساب التأثير الميكانيكي لتقوية الحبيبات في المعادن متعددة البلورات. إنها دقيقة لمتوسط قطر الحبيبات في حدود بضعة ميكرومترات وصولاً إلى حوالي 100 نانومتر، بافتراض أن المادة عند درجة حرارة لا يكون فيها انزلاق حدود الحبيبات هو السائد.

Why it matters: تسمح هذه العلاقة للمهندسين بزيادة قوة الخضوع للمواد الهيكلية من خلال المعالجة الحرارية الميكانيكية بدلاً من السبك الكيميائي المكلف. إنها أداة أساسية في تصميم المكونات عالية القوة وخفيفة الوزن لصناعات الطيران والسيارات والإنشاءات.

Symbols

Variables

$σ_{y}$ = Yield Strength, $σ_{0}$ = Friction Stress, $k_{y}$ = Locking Parameter, d = Average Grain Diameter

σ_{y}

Yield Strength

MPa

σ_{0}

Friction Stress

MPa

k_{y}

Locking Parameter

M P a m

d

Average Grain Diameter

m

Walkthrough

Derivation

اشتقاق/فهم معادلة هول-بيتخ

يشرح هذا الاشتقاق كيف تعمل حدود الحبيبات كحواجز لحركة الانخلاعات، مما يؤدي إلى تركيزات إجهاد تحدد العلاقة العكسية للجذر التربيعي بين قوة الخضوع للمادة ومتوسط حجم حبيباتها.

تعمل حدود الحبيبات كحواجز قوية وغير قابلة للاختراق لحركة الانخلاعات.
يحدث التشوه عند تركيز الإجهاد من تراكم الانخلاعات عند حد الحبيبة ما يكفي لتنشيط مصدر انخلاع جديد في الحبيبة المجاورة.
المادة متعددة البلورات بحجم حبيبات متوسط موحد نسبيًا.

حركة الانخلاعات وحدود الحبيبات:

في المواد البلورية، يتم حمل التشوه اللدن بشكل أساسي عن طريق حركة الانخلاعات. تعمل حدود الحبيبات كعقبات كبيرة لحركة الانخلاعات، وتتطلب إجهادات أعلى لنشر التشوه عبرها.

Plastic deformation occurs via dislocation motion. Grain boundaries impede this motion.

تركيز الإجهاد من تراكم الانخلاعات:

تحت إجهاد قص مطبق ( $τ_{a ppl i e d}$ )، ستتراكم الانخلاعات التي تتحرك على مستوى انزلاق داخل حبيبة ضد حد حبيبة. يخلق هذا التراكم، المكون من 'n' انخلاع، تركيز إجهاد موضعي ( $τ_{l oc a l}$ ) عند رأسه.

τ_{l oc a l} \propto n τ_{a ppl i e d}

الإجهاد الحرج لنقل الانزلاق:

لإستمرار التشوه اللدن، يجب أن يصل الإجهاد الموضعي في رأس التراكم إلى قيمة حرجة ( $τ_{i}$ ). هذا الإجهاد الحرج مطلوب لتنشيط مصدر انخلاع جديد في الحبيبة المجاورة أو لإجبار انخلاع عبر الحد.

τ_{l oc a l} = τ_{i}

اشتقاق معادلة هول-بيتخ:

الإجهاد عند رأس تراكم الانخلاعات يتناسب مع مربع الإجهاد المطبق وحجم الحبيبة. مساواة هذا بالإجهاد الحرج لنقل الانزلاق ينتج اعتمادية عكسية للجذر التربيعي للإجهاد القص المطبق على حجم الحبيبة. إضافة إجهاد الاحتكاك الشبكي ( $τ_{0}$ ) والتحويل إلى إجهاد طبيعي يعطي معادلة هول-بيتخ.

From dislocation theory, for a pile-up of length d (grain size): τ_{l oc a l} \propto τ_{a ppl i e d}^{2} d Setting τ_{l oc a l} = τ_{i} (critical stress): τ_{a ppl i e d}^{2} d \propto τ_{i} ⟹ τ_{a ppl i e d} \propto \frac{τ _{i}}{d} Total yield shear stress: τ_{y} = τ_{0} + τ_{a ppl i e d} τ_{y} = τ_{0} + \frac{k ^{'}}{d} Converting to normal stress (σ_{y} \approx M τ_{y}): σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Result

From dislocation theory, for a pile-up of length d (grain size): τ_{l oc a l} \propto τ_{a ppl i e d}^{2} d Setting τ_{l oc a l} = τ_{i} (critical stress): τ_{a ppl i e d}^{2} d \propto τ_{i} ⟹ τ_{a ppl i e d} \propto \frac{τ _{i}}{d} Total yield shear stress: τ_{y} = τ_{0} + τ_{a ppl i e d} τ_{y} = τ_{0} + \frac{k ^{'}}{d} Converting to normal stress (σ_{y} \approx M τ_{y}): σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Source: Callister, W. D., & Rethwisch, D. G. (2018). Materials Science and Engineering: An Introduction (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ_{0}$

اجعل sigma_0 موضوع المعادلة

σ_{0} = σ_{y} - \frac{k _{y}}{d}

تم إنشاء إعادة ترتيب رمزية دقيقة لـ sigma_0 بطريقة حتمية.

Difficulty: 4/5

Solve for $k_{y}$

اجعل $k_{y}$ موضوع المعادلة

k_{y} = d (σ_{y} - σ_{0})

تم إنشاء إعادة ترتيب رمزية دقيقة لـ $k_{y}$ بطريقة حتمية.

Difficulty: 4/5

Solve for $d$

اجعل d موضوع المعادلة

d = \frac{k _{y}^{2}}{( σ _{y} - σ _{0} ) ^{2}}

تم إنشاء إعادة ترتيب رمزية دقيقة لـ d بطريقة حتمية.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل الانخلاعات (عيوب خطية) تتحرك عبر مادة، وتصادف حدود الحبيبات كحواجز مادية؛ الحبيبات الأصغر تعني حواجز أكثر تكرارًا، مما يجبر الانخلاعات على التراكم ويتطلب إجهادًا أكبر

Term

الإجهاد الذي تبدأ عنده المادة في الخضوع للتشوه اللدن الدائم.

يمثل مقاومة المادة لتغيير الشكل الدائم تحت الحمل.

Term

المقاومة الجوهرية لحركة الانخلاع داخل شبكة بلورية واحدة، مستقلة عن حدود الحبيبات.

قوة المادة "الأساسية"، حتى بدون تأثير التقوية لحدود الحبيبات.

Term

ثابت خاص بالمادة يحدد فعالية حدود الحبيبات في إعاقة حركة الانخلاع.

مقدار القوة الإضافية المكتسبة لكل تخفيض معين في حجم الحبيبة؛ قيمة أعلى تعني أن تنعيم الحبيبات أكثر قوة.

Term

متوسط قطر الحبيبات البلورية داخل مادة متعددة البلورات.

مقياس لدقة أو خشونة البنية البلورية الداخلية للمادة.

Signs and relationships

+: يمثل الحد $k_{y}$ / $d$ مساهمة التقوية من حدود الحبيبات، والتي تضيف إلى إجهاد الاحتكاك الشبكي الجوهري $σ_{0}$ لتحديد قوة الخضوع الإجمالية.
1/√(d): يعني الاعتماد العكسي للجذر التربيعي على قطر الحبيبة d أنه مع انخفاض حجم الحبيبة، تزداد قوة الخضوع. هذا لأن الحبيبات الأصغر تعني حدود حبيبات أكثر لكل وحدة حجم، والتي تعمل كـ

Free study cues

Insight

Canonical usage

تُحسب المعادلة عادةً باستخدام الإجهاد بالميغاباسكال (MPa) وقطر الحبة بالمليمترات أو الميكرومترات، مما يتطلب تعديل معامل التقوية وفقًا لذلك.

Dimension note

هذه المعادلة ليست عديمة الأبعاد؛ فهي تعتمد على الجذر التربيعي العكسي لطول بُعد.

Ballpark figures

Quantity:

One free problem

Practice Problem

عين من الفولاذ الطري لديها إجهاد احتكاك شبكة جوهري يبلغ 50 ميجا باسكال ومعامل قفل هول-بيتش يبلغ 0.7 ميجا باسكال·م¹/². احسب إجهاد الخضوع الكلي للمادة إذا كان متوسط قطر الحبيبات 0.1 ملم (0.0001 متر).

Hint: أولاً، ابحث عن الجذر التربيعي لقطر الحبيبات، ثم اقسم معامل القفل على هذه القيمة قبل إضافتها إلى إجهاد الاحتكاك.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

المعالجة الحرارية الميكانيكية للفولاذ الهيكلي لإنتاج فولاذ منخفض السبائك عالي القوة وحبيبات دقيقة (HSLA).

Study smarter

Tips

تأكد من تحويل قطر الحبيبات 'd' إلى متر إذا تم توفير معامل القفل ' $k_{y}$ ' بوحدات النظام الدولي مثل MPa·m¹/².
يمثل المعامل 'sigma_0' إجهاد الاحتكاك أو مقاومة الشبكة البلورية لحركة الانخلاعات.
كن على دراية بتأثير 'هول-بيتش العكسي'، حيث تصبح المادة أضعف مع انخفاض أحجام الحبيبات إلى ما دون حوالي 10 إلى 30 نانومتر.

Avoid these traps

Common Mistakes

إهمال الجذر التربيعي على حد قطر الحبيبات.
استخدام الصيغة للحبيبات على نطاق النانومتر (أقل من ~10 نانومتر) حيث ينعكس العلاقة غالبًا.
الخلط بين إجهاد الاحتكاك (sigma_0) وقوة الشد القصوى.

Common questions

Frequently Asked Questions

طبق هذه المعادلة عند حساب التأثير الميكانيكي لتقوية الحبيبات في المعادن متعددة البلورات. إنها دقيقة لمتوسط قطر الحبيبات في حدود بضعة ميكرومترات وصولاً إلى حوالي 100 نانومتر، بافتراض أن المادة عند درجة حرارة لا يكون فيها انزلاق حدود الحبيبات هو السائد.

تسمح هذه العلاقة للمهندسين بزيادة قوة الخضوع للمواد الهيكلية من خلال المعالجة الحرارية الميكانيكية بدلاً من السبك الكيميائي المكلف. إنها أداة أساسية في تصميم المكونات عالية القوة وخفيفة الوزن لصناعات الطيران والسيارات والإنشاءات.

إهمال الجذر التربيعي على حد قطر الحبيبات. استخدام الصيغة للحبيبات على نطاق النانومتر (أقل من ~10 نانومتر) حيث ينعكس العلاقة غالبًا. الخلط بين إجهاد الاحتكاك (sigma_0) وقوة الشد القصوى.

المعالجة الحرارية الميكانيكية للفولاذ الهيكلي لإنتاج فولاذ منخفض السبائك عالي القوة وحبيبات دقيقة (HSLA).

تأكد من تحويل قطر الحبيبات 'd' إلى متر إذا تم توفير معامل القفل 'k_y' بوحدات النظام الدولي مثل MPa·m¹/². يمثل المعامل 'sigma_0' إجهاد الاحتكاك أو مقاومة الشبكة البلورية لحركة الانخلاعات. كن على دراية بتأثير 'هول-بيتش العكسي'، حيث تصبح المادة أضعف مع انخفاض أحجام الحبيبات إلى ما دون حوالي 10 إلى 30 نانومتر.

References

Sources

Callister, W. D., & Rethwisch, D. G. (2018). Materials Science and Engineering: An Introduction (10th ed.). John Wiley & Sons.
Ashby, M. F., & Jones, D. R. H. (1992). Engineering Materials 1: An Introduction to Properties, Applications and Design (2nd ed.).
Wikipedia: Hall-Petch equation
Hall, E. O. (1951). The Deformation and Ageing of Mild Steel. Proceedings of the Physical Society. Section B, 64(9), 747.
Petch, N. J. (1953). The Cleavage Strength of Polycrystals. Journal of the Iron and Steel Institute, 174, 25-28.
Callister's Materials Science and Engineering: An Introduction
Dieter's Mechanical Metallurgy
Hall-Petch relationship (Wikipedia)

معادلة هول-بيتش

Overview

Variables

Derivation

حركة الانخلاعات وحدود الحبيبات:

تركيز الإجهاد من تراكم الانخلاعات:

الإجهاد الحرج لنقل الانزلاق:

اشتقاق معادلة هول-بيتخ:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Stress

Strain

Young's Modulus

Frequently Asked Questions

Sources