Geology & Earth ScienceالهيدروجيولوجياUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

معادلة كوزيني-كارمان

العلاقة بين النفاذية والمسامية.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

k = Φ_{s}^{2} \frac{ϵ ^{3}}{( 1 - ϵ ) ^{2}} \frac{d _{p}^{2}}{150}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

معادلة كوزيني-كارمان هي علاقة شبه تجريبية تستخدم لتقدير النفاذية الجوهرية للوسائط المسامية الحبيبية مثل الرمل والحصى. تربط قدرة التدفق للوسط بمساميته والقطر المتوسط للجسيمات المكونة، وتنمذج المسام كشبكة من القنوات الملتوية.

When to use: تُطبق هذه المعادلة بشكل أفضل على ظروف التدفق الصفائحي في التربة جيدة الفرز وغير المتماسكة أو الأسِرّة المحشوة من الجسيمات الموحدة. وهي مفيدة بشكل خاص عندما تكون اختبارات النفاذية المعملية غير متوفرة ولكن بيانات توزيع حجم الحبوب والمسامية معروفة.

Why it matters: تقديرات النفاذية الدقيقة حيوية لنمذجة طبقات المياه الجوفية، والتنبؤ بحركة الملوثات تحت السطح، وتحسين الصرف في الهندسة المدنية. إنها توفر جسرًا نظريًا بين الهندسة الفيزيائية القابلة للقياس والأداء الهيدروليكي.

Symbols

Variables

k = Permeability, $ϕ$ = Porosity, $d_{p}$ = Grain Size

k

Permeability

m²

ϕ

Porosity

Variable

d_{p}

Grain Size

m

Walkthrough

Derivation

فهم معادلة كوزيني-كارمان

تربط نفاذية الوسط المسامي بمساميته وحجم حبيباته.

تدفق طبقي عبر حبيبات كروية معبأة بشكل موحد.
لا توجد مسام ميته أو كسور.

نمذجة التدفق عبر قنوات شعرية:

تعامل معادلة كوزيني-كارمان مساحة المسام كمجموعة من الأنابيب الشعرية المتعرجة. تزداد النفاذية مع مربع حجم الحبيبات ومكعب المسامية.

k = \frac{d _{p}^{2}}{180} \cdot \frac{ϕ ^{3}}{( 1 - ϕ ) ^{2}}

لاحظ التناسب الرئيسي:

حتى التغييرات الصغيرة في المسامية تنتج تغييرات كبيرة في النفاذية بسبب الاعتماد التكعيبي.

k \propto \frac{ϕ ^{3}}{( 1 - ϕ ) ^{2}}

Note: الثابت 180 تجريبي (يكتب أحيانًا 150 اعتمادًا على نموذج تعبئة الحبيبات).

Result

k \propto \frac{ϕ ^{3}}{( 1 - ϕ ) ^{2}}

Source: University Hydrogeology — Porous Media Flow

Visual intuition

Graph

Graph type: power_law

Why it behaves this way

Intuition

تخيل الوسط المسامي كشبكة معقدة من القنوات المترابطة والمتعرجة، حيث تعتمد سهولة التدفق الإجمالية للسائل على الحجم الكلي لهذه القنوات، ومتوسط عرضها، ومدى استقامتها أو التوائها

Term

النفاذية الداخلية للوسط المسامي

'k' أعلى يعني أن المادة تسمح بتدفق السائل من خلالها بسهولة أكبر. فكر في مدى سرعة تصريف المياه عبر الرمل الخشن مقارنة بالطين الناعم.

Term

استدارة الجسيمات

مقياس لا بعدي لمدى قرب شكل الجسيم من الكرة المثالية. الجسيمات الأكثر استدارة (أعلى

Φ_{s}

) تميل إلى التعبئة بكفاءة أكبر، مما يخلق مسارات تدفق أقل تعرجًا.

Term

مسامية الوسط

نسبة الحجم الكلي التي تشغلها مساحة الفراغ (المسام). المزيد من المساحة الفارغة (أعلى

ϵ

) يعني المزيد من المسارات لتدفق السائل.

Term

متوسط قطر الجسيمات

مقياس مميز لحجم الجسيمات الصلبة. الجسيمات الأكبر (أعلى

d_{p}

) تخلق عمومًا مساحات مسام أكبر ومساحة سطح أقل للحجم لمقاومة السوائل.

Term

ثابت تجريبي

عامل قياس لا بعدي مشتق من الملاحظات التجريبية، يأخذ في الاعتبار التأثيرات المشتركة للالتواء ومقاومة الاحتكاك في الوسائط الحبيبية النموذجية.

Signs and relationships

ε^3: يتم تكعيب المسامية لأن زيادة صغيرة في مساحة الفراغ المتاحة تزيد بشكل كبير من عدد وحجم مسارات التدفق المترابطة، مما يؤدي إلى زيادة أكبر بكثير في النفاذية.
(1-ε)^2: يمثل هذا المصطلح نسبة حجم المواد الصلبة. مع زيادة نسبة المواد الصلبة، تقل مساحة الفراغ، وتصبح مسارات التدفق أكثر ضيقًا وتعقيدًا.
d_p^2: يتم تربيع قطر الجسيمات لأن الجسيمات الأكبر تخلق أقطار مسام أكبر ومساحة سطح أقل لكل وحدة حجم للمقاومة الاحتكاكية.
\Phi_s^2: يتم تربيع الاستدارة لأن الجسيمات الأكثر استدارة تقلل من الالتواء وتحسن كفاءة التعبئة، مما يعزز بشكل كبير سهولة تدفق السائل عبر الوسط.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تربط معادلة كوزيني-كارمان النفاذية الجوهرية (k) بمربع قطر الجسيم ( $d_{p}^{2}$ ) والمسامية (ε) والكروية (Φ_s).

One free problem

Practice Problem

عينة رمل من طبقة مياه جوفية ساحلية لها مسامية قدرها 0.30 وقطر حبيبات متوسط قدره 0.2 ملم. بافتراض تكور قدره 1.0، احسب النفاذية الجوهرية k بالمتر المربع (m²).

Hint: حوّل القطر من 0.2 ملم إلى 0.0002 متر قبل إدخاله في المعادلة.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق التنبؤ بإنتاجية بئر نفط جديد من العينات الأساسية، تُستخدم معادلة معادلة كوزيني-كارمان لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

Study smarter

Tips

قم دائمًا بتحويل قطر الجسيمات (dp) إلى أمتار لضمان أن تكون نتيجة النفاذية بالمتر المربع (m²).
تأكد من إدخال المسامية (phi) ككسر عشري بين 0 و 1، وليس كنسبة مئوية أبدًا.
لاحظ أن التكور (Phi_s) غالبًا ما يُفترض أنه 1.0 للحبوب المستديرة جيدًا في المسائل المبسطة بالكتب المدرسية.
تفقد المعادلة دقتها في التربة الغنية بالطين بسبب التفاعلات الكهروكيميائية وصغر أحجام المسام بشكل كبير.

Avoid these traps

Common Mistakes

تطبيقها على الصخور المتصدعة (تعمل فقط للوسائط الحبيبية).
تحويل الوحدات والمقاييس قبل التعويض، خاصة عندما تخلط المدخلات m², m.
فسّر الإجابة مع وحدتها وسياقها؛ فالنسبة المئوية والمعدل والنسبة والكمية الفيزيائية لا تعني الشيء نفسه.

Common questions

Frequently Asked Questions

تربط نفاذية الوسط المسامي بمساميته وحجم حبيباته.

تُطبق هذه المعادلة بشكل أفضل على ظروف التدفق الصفائحي في التربة جيدة الفرز وغير المتماسكة أو الأسِرّة المحشوة من الجسيمات الموحدة. وهي مفيدة بشكل خاص عندما تكون اختبارات النفاذية المعملية غير متوفرة ولكن بيانات توزيع حجم الحبوب والمسامية معروفة.

تقديرات النفاذية الدقيقة حيوية لنمذجة طبقات المياه الجوفية، والتنبؤ بحركة الملوثات تحت السطح، وتحسين الصرف في الهندسة المدنية. إنها توفر جسرًا نظريًا بين الهندسة الفيزيائية القابلة للقياس والأداء الهيدروليكي.

تطبيقها على الصخور المتصدعة (تعمل فقط للوسائط الحبيبية). تحويل الوحدات والمقاييس قبل التعويض، خاصة عندما تخلط المدخلات m², m. فسّر الإجابة مع وحدتها وسياقها؛ فالنسبة المئوية والمعدل والنسبة والكمية الفيزيائية لا تعني الشيء نفسه.

قم دائمًا بتحويل قطر الجسيمات (dp) إلى أمتار لضمان أن تكون نتيجة النفاذية بالمتر المربع (m²). تأكد من إدخال المسامية (phi) ككسر عشري بين 0 و 1، وليس كنسبة مئوية أبدًا. لاحظ أن التكور (Phi_s) غالبًا ما يُفترض أنه 1.0 للحبوب المستديرة جيدًا في المسائل المبسطة بالكتب المدرسية. تفقد المعادلة دقتها في التربة الغنية بالطين بسبب التفاعلات الكهروكيميائية وصغر أحجام المسام بشكل كبير.

References

Sources

Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Incropera, F. P., DeWitt, D. P., Bergman, T. L., & Lavine, A. S. (2007). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (6th ed.).
Wikipedia: Kozeny-Carman equation
Bird, R. Byron, Stewart, Warren E., Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Incropera, Frank P., DeWitt, David P., Bergman, Theodore L., Lavine, Adrienne S. (2007). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (6th ed.).
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd Edition
Incropera, DeWitt, Bergman, Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 7th Edition
Fetter, Applied Hydrogeology, 4th Edition

معادلة كوزيني-كارمان

Overview

Variables

Derivation

نمذجة التدفق عبر قنوات شعرية:

لاحظ التناسب الرئيسي:

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Porosity

Darcy's Law (Specific Discharge)

Hydraulic Gradient

Frequently Asked Questions

Sources