Mathematicsالجبر الخطيUniversity
OCRAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

أثر المصفوفة

مجموع العناصر القطرية لمصفوفة مربعة، والذي يساوي أيضًا مجموع قيمها الذاتية.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

أثر المصفوفة المربعة هو القيمة القياسية المعرفة كمجموع العناصر على طول قطرها الرئيسي. وهو عامل أساسي في الجبر الخطي يساوي مجموع القيم الذاتية للمصفوفة ويظل ثابتًا تحت تحويلات التشابه.

When to use: استخدم الأثر عندما تحتاج إلى حساب مجموع القيم الذاتية أو تحديد الخصائص الثابتة للتحويل الخطي. ويُطبق أيضًا عند حساب الضرب الداخلي لمصفوفتين أو تحليل تباعد حقل متجه في حساب الموتر.

Why it matters: الأثر حيوي لأنه يبسط عمليات المصفوفات المعقدة إلى قيمة قياسية واحدة تلتقط معلومات أساسية حول النظام. في الفيزياء، يُستخدم في ميكانيكا الكم لإيجاد قيم التوقع وفي الديناميكا الحرارية لتعريف دالة التجزئة.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Walkthrough

Derivation

اشتقاق/فهم أثر المصفوفة

يعرّف هذا الاشتقاق أثر المصفوفة المربعة بأنه مجموع عناصرها القطرية، ويوضح أنه يساوي أيضًا مجموع قيمها الذاتية.

  • A مصفوفة مربعة n x n ذات مدخلات حقيقية أو مركبة.
  • فهم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
  • الإلمام بكثيرة الحدود المميزة للمصفوفة.
1

تعريف الأثر:

يُعرّف أثر المصفوفة المربعة A بأنه مجموع العناصر الواقعة على قطرها الرئيسي.

2

كثيرة الحدود المميزة والقيم الذاتية:

القيم الذاتية لمصفوفة A هي جذور كثيرة حدودها المميزة p() = (A - I). توسيع هذا المحدد يكشف أن معامل هو (-1)^{n-1} (A).

3

العلاقة بين الجذور والمعاملات:

بما أن , , هي جذور كثيرة الحدود المميزة، يمكننا أيضًا التعبير عن p() في صورة مضروبة. بتوسيع هذا الناتج، معامل هو (-1)^n (- ) = (-1)^{n+1} .

4

مساواة المعاملات:

بجعل معاملات من كلا التوسيعين لكثيرة الحدود المميزة متساوية، نجد أن أثر المصفوفة يساوي مجموع قيمها الذاتية.

Result

Source: Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل الأثر كمقياس لمدى 'تمدد' أو 'انكماش' التحويل الخطي للفضاء على طول اتجاهاته الرئيسية، وجمع هذه التأثيرات القياسية في رقم واحد.

Term
مجموع القيم العددية للإدخالات القطرية لمصفوفة مربعة A.
رقم واحد يلتقط خاصية ثابتة لتحويل خطي، مرتبطة بتأثير 'القياس' الإجمالي بغض النظر عن نظام الإحداثيات المختار.
Term
مصفوفة مربعة، تمثل تحويلاً خطيًا من فضاء متجهي إلى نفسه.
كائن رياضي يحول المتجهات عن طريق رسمها إلى متجهات جديدة، غالبًا ما يتضمن الدوران أو القياس أو القص.
Term
العناصر الموجودة على القطر الرئيسي للمصفوفة A (حيث يساوي فهرس الصف فهرس العمود).
تساهم هذه العناصر بشكل مباشر في مكونات القياس للتحويل على طول متجهات الأساس المعيارية.
Term
القيم الذاتية للمصفوفة A، وهي عوامل القياس التي يتم بها قياس المتجهات الذاتية تحت التحويل.
هذه هي عوامل القياس الأساسية للتحويل على طول اتجاهاته الخاصة الثابتة (المتجهات الذاتية)، ومجموعها يوفر طريقة بديلة مستقلة عن الإحداثيات لحساب الأثر.

Free study cues

Insight

Canonical usage

يرث أثر المصفوفة وحدات عناصرها.

One free problem

Practice Problem

مصفوفة مربعة A بحجم 2×2 لها عناصر قطرية a₁₁ = x و a₂₂ = y. احسب أثر (النتيجة) المصفوفة A.

Hint: يتم إيجاد الأثر بجمع الأرقام الموجودة على القطر الرئيسي من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في ميكانيكا الكم، يتم حساب قيمة التوقع لمرصد على أنها أثر حاصل ضرب مصفوفة الكثافة والعامل المقابل.

Study smarter

Tips

  • تأكد من أن المصفوفة مربعة (n ×n) قبل محاولة إيجاد الأثر.
  • تذكر الخاصية الدورية: tr(AB) = tr(BA).
  • أثر المجموع هو مجموع الآثار: tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
  • فحص مجموع القيم الذاتية: استخدمه للتحقق مما إذا كانت قيمك الذاتية المحسوبة صحيحة.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • محاولة حساب الأثر لمصفوفة غير مربعة.
  • افتراض أن tr(ABC) = tr(ACB)؛ فقط التباديل الدورية مثل tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) مضمونة.
  • الخلط بين الأثر والمحدد.

Common questions

Frequently Asked Questions

يعرّف هذا الاشتقاق أثر المصفوفة المربعة بأنه مجموع عناصرها القطرية، ويوضح أنه يساوي أيضًا مجموع قيمها الذاتية.

استخدم الأثر عندما تحتاج إلى حساب مجموع القيم الذاتية أو تحديد الخصائص الثابتة للتحويل الخطي. ويُطبق أيضًا عند حساب الضرب الداخلي لمصفوفتين أو تحليل تباعد حقل متجه في حساب الموتر.

الأثر حيوي لأنه يبسط عمليات المصفوفات المعقدة إلى قيمة قياسية واحدة تلتقط معلومات أساسية حول النظام. في الفيزياء، يُستخدم في ميكانيكا الكم لإيجاد قيم التوقع وفي الديناميكا الحرارية لتعريف دالة التجزئة.

محاولة حساب الأثر لمصفوفة غير مربعة. افتراض أن tr(ABC) = tr(ACB)؛ فقط التباديل الدورية مثل tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) مضمونة. الخلط بين الأثر والمحدد.

في ميكانيكا الكم، يتم حساب قيمة التوقع لمرصد على أنها أثر حاصل ضرب مصفوفة الكثافة والعامل المقابل.

تأكد من أن المصفوفة مربعة (n ×n) قبل محاولة إيجاد الأثر. تذكر الخاصية الدورية: tr(AB) = tr(BA). أثر المجموع هو مجموع الآثار: tr(A + B) = tr(A) + tr(B). فحص مجموع القيم الذاتية: استخدمه للتحقق مما إذا كانت قيمك الذاتية المحسوبة صحيحة.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.