قانون نيوتن للجاذبية الكونية

Core idea

Overview

تكون القوة دائمًا جاذبة، وتعمل على طول الخط الذي يربط مركزي الكتلتين. تعني علاقة التربيع العكسي هذه أن مضاعفة المسافة بين الجسمين يقلل قوة الجاذبية إلى ربع قيمتها الأصلية. وهي بمثابة الأساس لفهم مدارات الكواكب، وحركة الأقمار الصناعية، وتشكيل الهياكل السماوية.

When to use: استخدم هذه المعادلة عند حساب قوة الجاذبية بين أي جسمين ضخمين حيث تكون مسافة الفصل أكبر بكثير من أنصاف أقطار الأجسام.

Why it matters: توضح لماذا تدور الكواكب حول الشمس، ولماذا تبقى الأقمار في مداراتها، وكيف يمكننا حساب كتلة الأجرام السماوية.

Symbols

Variables

F = Gravitational Force, G = Gravitational Constant, M = Mass of first object, m = Mass of second object, r = Distance between centers

F

Gravitational Force

Variable

G

Gravitational Constant

Variable

M

Mass of first object

Variable

m

Mass of second object

Variable

r

Distance between centers

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق قانون نيوتن للجاذبية الكونية

اشتق نيوتن هذا القانون عن طريق تجميع قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب مع متطلب القوة المركزية في المدارات الدائرية.

مدارات الكواكب دائرية تقريبًا.
القوة الجاذبية هي المصدر الوحيد للقوة المركزية لجسم يدور.
القوة تتناسب طرديًا مع كلتا الكتلتين المعنيتين (تماثل قانون نيوتن الثالث).

1

متطلب القوة المركزية

بالنسبة لجسم كتلته m يتحرك في مدار دائري نصف قطره r بسرعة v، يلزم وجود قوة مركزية للحفاظ على المسار.

F = \frac{m v ^{2}}{r}

Note: تأكد من أن الوحدات متسقة (SI) عند استخدام هذه الصيغة.

2

ربط سرعة المدار والدورة

عوض تعريف السرعة للمدار الدائري (المحيط مقسومًا على الدورة) في معادلة القوة.

v = \frac{2 π r}{T} ⟹ v^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{2}}{T ^{2}}

Note: T تمثل دورة المدار.

3

تطبيق قانون كبلر الثالث

ينص قانون كبلر الثالث على أن مربع دورة المدار يتناسب طرديًا مع مكعب نصف القطر.

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = k ⟹ T^{2} = k r^{3}

Note: قانون كبلر تجريبي؛ قدم نيوتن الأساس النظري له.

4

الجمع والتبسيط

عوض مربع T في معادلة القوة وقم بالتبسيط لإظهار أن F تتناسب عكسيًا مع r تربيع، مع تعريف G كثابت التناسب.

F = \frac{m ( 4 π ^{2} r ^{2} / k r ^{3} )}{r} = \frac{4 π ^{2} m}{k r ^{2}} = \frac{GM m}{r ^{2}}

Note: G هو ثابت الجاذبية الكونية.

Result

F = \frac{m ( 4 π ^{2} r ^{2} / k r ^{3} )}{r} = \frac{4 π ^{2} m}{k r ^{2}} = \frac{GM m}{r ^{2}}

Source: AQA/Edexcel A-Level Physics Specification: Gravitational Fields

Free formulas

Rearrangements

Solve for $M$

اجعل M موضوع المعادلة

M = \frac{F r ^{2}}{G m}

أعد ترتيب المعادلة لجعل M موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $m$

اجعل m موضوع المعادلة

m = \frac{F r ^{2}}{GM}

أعد ترتيب المعادلة لجعل m موضوع المعادلة.

Difficulty: 3/5

Solve for $r$

اجعل r موضوع المعادلة

r = \frac{GM m}{F}

أعد ترتيب المعادلة لجعل r موضوع المعادلة.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل القوة كـ 'نافورة جاذبية' تنبعث من الكتلة M. قوة المجال تنتشر على مساحة سطح كرة (4πr²) مع ابتعادها. نظرًا لأن مساحة سطح الكرة تنمو مع مربع نصف القطر (r²)، يجب أن يخف تركيز هذه القوة بمعامل 1/r².

Term

القوة الجاذبية

'السحب' أو الوزن المؤثر بين جسمين؛ نتيجة لجاذبيتهما المتبادلة.

Term

ثابت الجاذبية

'مقبض قوة' الكون؛ يخبرنا كم من القوة تنتج لكل وحدة كتلة ومسافة في كوننا المحدد.

Term

كتلتا الجسمين

'شحنة الجاذبية'؛ كلما زادت المادة المعبأة في جسم ما، زاد سحبه للآخرين.

Term

مسافة الفصل

مدى بُعد مركزي الكتلتين؛ مع زيادة هذا البعد، تنخفض القوة بشكل كبير بسبب العلاقة التربيعية العكسية.

Signs and relationships

1/r²: يمثل هذا قانون التربيع العكسي، مما يشير إلى أن الجاذبية تتبع هندسة الفضاء ثلاثي الأبعاد، حيث تنتشر الشدة على مساحة سطح الكرة.

One free problem

Practice Problem

احسب قوة الجاذبية بين كتلتين 1000 كجم مفصولتين بمسافة 10 أمتار.

Hint: أدخل القيم في F = GMm/r². تذكر أن r² هو 100.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق حساب الجاذبية بين الأرض وقمر صناعي ثابت بالنسبة للأرض لتحديد السرعة المدارية المطلوبة للبقاء في موقع ثابت فوق خط الاستواء، تُستخدم معادلة قانون نيوتن للجاذبية الكونية لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على توقع الحركة أو انتقال الطاقة أو سلوك الموجات أو المجالات أو الدوائر والتحقق من معقولية الإجابة.

Study smarter

Tips

تأكد من قياس المسافة r بين مراكز كتلتي الجسمين، وليس أسطحهما.
استخدم وحدات النظام الدولي للوحدات (SI): الكيلوجرام للكتلة والمتر للمسافة للحفاظ على الاتساق مع ثابت الجاذبية G.
تذكر أن القوة متبادلة؛ الجسم M يبذل نفس مقدار القوة على m كما يبذل m على M.

Avoid these traps

Common Mistakes

نسيان تربيع نصف القطر (r) في المقام.
قياس r من سطح كوكب بدلاً من مركزه.
الخلط بين ثابت الجاذبية G (6.67 ×10^-11) وتسارع الجاذبية g (9.81 م/ث²).

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

اشتق نيوتن هذا القانون عن طريق تجميع قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب مع متطلب القوة المركزية في المدارات الدائرية.

استخدم هذه المعادلة عند حساب قوة الجاذبية بين أي جسمين ضخمين حيث تكون مسافة الفصل أكبر بكثير من أنصاف أقطار الأجسام.

توضح لماذا تدور الكواكب حول الشمس، ولماذا تبقى الأقمار في مداراتها، وكيف يمكننا حساب كتلة الأجرام السماوية.

نسيان تربيع نصف القطر (r) في المقام. قياس r من سطح كوكب بدلاً من مركزه. الخلط بين ثابت الجاذبية G (6.67 ×10^-11) وتسارع الجاذبية g (9.81 م/ث²).

في سياق حساب الجاذبية بين الأرض وقمر صناعي ثابت بالنسبة للأرض لتحديد السرعة المدارية المطلوبة للبقاء في موقع ثابت فوق خط الاستواء، تُستخدم معادلة قانون نيوتن للجاذبية الكونية لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على توقع الحركة أو انتقال الطاقة أو سلوك الموجات أو المجالات أو الدوائر والتحقق من معقولية الإجابة.

تأكد من قياس المسافة r بين مراكز كتلتي الجسمين، وليس أسطحهما. استخدم وحدات النظام الدولي للوحدات (SI): الكيلوجرام للكتلة والمتر للمسافة للحفاظ على الاتساق مع ثابت الجاذبية G. تذكر أن القوة متبادلة؛ الجسم M يبذل نفس مقدار القوة على m كما يبذل m على M.

References

Sources

Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics.
AQA/Edexcel A-Level Physics Specification: Gravitational Fields

Overview

Variables

Derivation

متطلب القوة المركزية

ربط سرعة المدار والدورة

تطبيق قانون كبلر الثالث

الجمع والتبسيط

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Gravitational Field Strength

Frequently Asked Questions

Sources