Divergenzsatz (Gaußscher Satz) Calculator

Formula first

Overview

Dieser grundlegende Satz schlägt eine Brücke zwischen Flächenintegralen und Volumenintegralen und zeigt, dass der gesamte Fluss eines Vektorfeldes aus einem Gebiet gleich der Summe aller Quellen und Senken innerhalb dieses Gebiets ist. Er ist eine dreidimensionale Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Physikalisch beschreibt er, wie sich die lokale Dichte einer Feldquelle, also die Divergenz, zu einem Netto-Transport über eine Randfläche aufsummiert.

Symbols

Variables

V = Enclosed Volume, F = Vector Field, n = Normal Vector

Apply it well

When To Use

When to use: Verwende diesen Satz, wenn die Auswertung eines komplizierten Flächenintegrals über eine geschlossene Randfläche schwieriger ist als die Berechnung eines Volumenintegrals der Divergenz.

Why it matters: Er ist wesentlich in der Strömungsmechanik, Wärmeübertragung und Elektromagnetik, um nachzuverfolgen, wie Felder aus Quellen innerhalb eines Volumens hervorgehen.

Avoid these traps

Common Mistakes

• Den Satz auf offene Flächen anzuwenden, ohne die fehlende 'Deckelfläche' hinzuzufügen.
• Zu vergessen, den nach außen gerichteten Einheitsnormalenvektor zu verwenden.
• Singularitäten des Vektorfeldes innerhalb des Volumens nicht zu berücksichtigen.

One free problem

Practice Problem

Berechne den nach außen gerichteten Fluss des Vektorfeldes F = x*i + y*j + z*k durch die Oberfläche einer Kugel mit Radius R = 1 und Mittelpunkt im Ursprung.

Hint: Die Divergenz von F = (x, y, z) ist 3. Integriere diese Konstante über das Volumen der Kugel.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.
2. Feynman, R. P. (1963). The Feynman Lectures on Physics.
3. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.