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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Normalverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Normalverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, basierend auf ihrem Mittelwert und ihrer Varianz.

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Core idea

Overview

Diese Formel repräsentiert die klassische glockenförmige Gauß-Kurve, bei der der Gipfel durch den Mittelwert (μ) und die Breite oder Streuung durch die Varianz (σ²) bestimmt wird. Sie ist ein Grundpfeiler der Inferenzstatistik, da der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass Summen vieler unabhängiger Zufallsvariablen gegen diese Verteilung tendieren. Das Integral dieser Funktion über ein beliebiges Intervall stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass die Zufallsvariable in diesen Bereich fällt.

When to use: Verwende dies, um physikalische, biologische oder soziale Phänomene zu modellieren, bei denen sich Datenpunkte um einen zentralen Durchschnitt mit symmetrischen Abweichungen gruppieren.

Why it matters: Sie ermöglicht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Hypothesentests und die Schätzung von Parametern in nahezu allen wissenschaftlichen und technischen Bereichen.

Symbols

Variables

x = Random Variable, = Mean, = Variance

Random Variable
Variable
Mean
Variable
Variance
Variable

Walkthrough

Derivation

Herleitung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Normalverteilung

Die Normalverteilung wird aus der Anforderung hergeleitet, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Mittelwert unabhängiger Beobachtungen das arithmetische Mittel ist, was zur Gaußschen Funktionalgleichung führt.

  • Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) hängt nur vom Abstand zum Mittelwert ab.
  • Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit unabhängiger Beobachtungen ist das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.
  • Die Funktion muss so normiert sein, dass die Gesamtfläche unter der Kurve gleich 1 ist.
1

Formulierung der Funktionalgleichung

Unter der Annahme, dass der wahrscheinlichste Wert für den Mittelwert das arithmetische Mittel ist, muss das Produkt der Dichten eine Funktion der Summe der Quadrate der Beobachtungen sein.

Note: Dies wird oft als Gaußsche Herleitung basierend auf dem Postulat des arithmetischen Mittels bezeichnet.

2

Lösen durch logarithmisches Differenzieren

Durch Bilden des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten wandelt sich das Produkt in eine Summe um, was impliziert, dass die Ableitung linear sein muss, was zur Form f(x) = Ce^{ax^2} führt.

Note: Wir identifizieren 'a' als negativ, um sicherzustellen, dass die Funktion abfällt, wenn |x| zunimmt.

3

Bestimmung der Konstanten

Wir verwenden die Gaußsche Integralidentität, um die Normierungskonstante C zu finden, die sicherstellt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit zu 1 integriert.

Note: Erinnern Sie sich, dass das Integral von die Quadratwurzel aus Pi ist.

4

Finale Normierung

Das Ersetzen des Streuungsparameters durch die Varianz Sigma-Quadrat ergibt die Standardform der normalen PDF.

Note: Diese finale Form erfüllt die Eigenschaft, dass die Verteilung bei mu zentriert ist, mit der Varianz Sigma-Quadrat.

Result

Source: Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Free formulas

Rearrangements

Solve for

Nach x umstellen

Isolieren Sie die Variable x, indem Sie den natürlichen Logarithmus bilden und algebraische Operationen durchführen.

Difficulty: 3/5

Solve for

Nach umstellen

Stelle die Gleichung nach mu um.

Difficulty: 3/5

Solve for

Nach umstellen

Lösen Sie die Varianz mithilfe der Lambert-W-Funktion oder iterativer Methoden auf, da sowohl in der Basis als auch im Exponenten vorkommt.

Difficulty: 4/5

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Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich ein physisches Gebirge vor, das entsteht, wenn man Sand auf eine ebene Fläche fallen lässt. Der Gipfel (der Mittelwert) ist dort, wo sich der meiste Sand ansammelt, und die Höhe fällt exponentiell ab, je weiter man sich vom Zentrum entfernt. Die Kurve ist eine „gravitationsgewichtete“ Form, bei der die Steilheit der Hänge durch die Streuung des Sandes gesteuert wird; ein breiter Haufen (große Varianz) ist flach, während eine hohe, dünne Spitze (kleine Varianz) steil ist.

Term
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Die „Höhe“ der Kurve an jedem Punkt x, die die relative Wahrscheinlichkeit darstellt, einen bestimmten Wert angesichts des Durchschnitts und der Streuung anzutreffen.
Term
Mittelwert (Erwartungswert)
Der zentrale Ankerpunkt oder die horizontale Position des Gipfels der Glockenkurve.
Term
Varianz
Der „Breitenfaktor“; er bestimmt, wie weit die Daten vom Zentrum weg gestreut sind.
Term
Eulersche Zahl
Dient als Basis für den Abfall und stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeit sanft und vorhersehbar abnimmt, wenn wir uns vom Mittelwert entfernen.

Signs and relationships

  • -(x - μ)²: Das negative Vorzeichen stellt sicher, dass der Exponent immer negativ oder null ist, was einen Gipfel am Mittelwert (wo x=μ) erzeugt und die Funktion gegen Null abfallen lässt, wenn x sich vom Mittelwert entfernt.
  • 1 / sqrt(2πσ²): Dies ist die „Normierungskonstante“. Sie stellt sicher, dass die Gesamtfläche unter der gesamten Kurve genau 1 ist, was 100 % Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht.

One free problem

Practice Problem

Berechne für eine Normalverteilung mit Mittelwert (μ) 0 und Varianz (σ²) 1 die Dichte f(x) bei x = 0.

Hint: Erinnere dich daran, dass = 1 ist und sich der Ausdruck zu 1/sqrt(2π) vereinfacht.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Die Körpergrößen erwachsener Männer in einer bestimmten Population, die sich um einen Durchschnittswert mit einer vorhersagbaren Standardabweichung gruppieren.

Study smarter

Tips

  • Denke daran, dass die gesamte Fläche unter der Kurve immer genau 1 ist.
  • Verwende die Standardnormalverteilung mit μ=0 und σ=1, um komplexe Berechnungen zu vereinfachen.
  • Beachte, dass ungefähr 68%, 95% und 99.7% der Daten innerhalb von 1, 2 bzw. 3 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Standardabweichung (σ) mit Varianz (σ²) zu verwechseln.
  • Anzunehmen, dass der PDF-Wert selbst eine Wahrscheinlichkeit ist, statt eine Dichte; die Wahrscheinlichkeit eines exakten Einzelpunkts ist 0.

Common questions

Frequently Asked Questions

Die Normalverteilung wird aus der Anforderung hergeleitet, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Mittelwert unabhängiger Beobachtungen das arithmetische Mittel ist, was zur Gaußschen Funktionalgleichung führt.

Verwende dies, um physikalische, biologische oder soziale Phänomene zu modellieren, bei denen sich Datenpunkte um einen zentralen Durchschnitt mit symmetrischen Abweichungen gruppieren.

Sie ermöglicht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Hypothesentests und die Schätzung von Parametern in nahezu allen wissenschaftlichen und technischen Bereichen.

Standardabweichung (σ) mit Varianz (σ²) zu verwechseln. Anzunehmen, dass der PDF-Wert selbst eine Wahrscheinlichkeit ist, statt eine Dichte; die Wahrscheinlichkeit eines exakten Einzelpunkts ist 0.

Die Körpergrößen erwachsener Männer in einer bestimmten Population, die sich um einen Durchschnittswert mit einer vorhersagbaren Standardabweichung gruppieren.

Denke daran, dass die gesamte Fläche unter der Kurve immer genau 1 ist. Verwende die Standardnormalverteilung mit μ=0 und σ=1, um komplexe Berechnungen zu vereinfachen. Beachte, dass ungefähr 68%, 95% und 99.7% der Daten innerhalb von 1, 2 bzw. 3 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.

References

Sources

  1. Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
  2. Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability.
  3. Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.