Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung verknüpft Druck, Strömungsgeschwindigkeit und Höhe für eine ideale, inkompressible und stationäre Strömung entlang einer Stromlinie.
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Core idea
Overview
Abgeleitet aus dem Prinzip der Energieerhaltung besagt die Gleichung, dass die Summe aus statischem Druck, dynamischem Druck und hydrostatischem Druck entlang einer Stromlinie konstant bleibt. Sie ist grundlegend in der Strömungsmechanik, um zu bestimmen, wie sich Strömungsgrößen ändern, wenn sich Rohrgeometrie oder Höhe ändern. Diese Idealisierung setzt voraus, dass keine Reibungsverluste auftreten und die Fluiddichte konstant bleibt.
When to use: Wende sie bei der Analyse stationärer, inkompressibler und reibungsfreier (inviskoser) Strömung entlang einer Stromlinie an, wenn sich die Fluideigenschaften zeitlich nicht ändern.
Why it matters: Sie ist wesentlich für die Auslegung von Rohrleitungssystemen, Tragflächen und hydraulischen Geräten und erlaubt Ingenieuren, Geschwindigkeitsänderungen anhand von Druckdifferenzen zu berechnen.
Symbols
Variables
P = Pressure, = Fluid Density, g = Gravity, h = Height
Free formulas
Rearrangements
Solve for
Nach P umstellen
Isolieren Sie den Druckterm, indem Sie die Terme der kinetischen und potentiellen Energiedichte von der Konstante subtrahieren.
Difficulty: 1/5
Solve for
Nach v umstellen
Isolieren Sie den Geschwindigkeitsterm, indem Sie andere Komponenten verschieben, mit 2 multiplizieren, durch die Dichte dividieren und die Quadratwurzel ziehen.
Difficulty: 3/5
Solve for
Nach g umstellen
Isolieren Sie den Schwerkraftterm, indem Sie P und die kinetische Energie subtrahieren und dann durch die Dichte und Höhe dividieren.
Difficulty: 2/5
Solve for
Nach h umstellen
Isolieren Sie den Höhenterm, indem Sie andere Komponenten verschieben und durch Dichte und Schwerkraft dividieren.
Difficulty: 2/5
The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.
Why it behaves this way
Intuition
Stellen Sie sich ein Fluidteilchen wie einen preisbewussten Reisenden vor, der sich durch ein Rohr bewegt. Das gesamte „Energiebudget“ ist fest; das Teilchen kann sein Vermögen für statischen Druck (Menschendichte), kinetische Energie (Geschwindigkeit) oder potenzielle Energie (Höhe) ausgeben. Wenn sich das Rohr verengt (Geschwindigkeit steigt) oder es bergauf geht (Höhe steigt), muss das Teilchen seinen statischen Druck „ausgeben“, um für die Änderung zu bezahlen, was einen strikten Kompromiss illustriert.
Signs and relationships
- +: Die Pluszeichen stehen für die additive Natur der Energie in einem geschlossenen System; da Energie in einem idealen (reibungslosen) Fluid erhalten bleibt, muss die Summe dieser verschiedenen Energieformen entlang einer Stromlinie invariant bleiben.
One free problem
Practice Problem
Ein horizontales Rohr mit einem Querschnitt von 0.02 m² verengt sich auf 0.01 m². Wenn Wasser im breiteren Abschnitt mit 2 m/s und einem Druck von 200 kPa strömt, wie groß ist der Druck im engen Abschnitt (Dichte = 1000 kg/m³)?
Hint: Verwende die Kontinuitätsgleichung A1v1 = A2v2, um die Geschwindigkeit im zweiten Abschnitt zu bestimmen, und wende dann Bernoulli an.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
An einer Flugzeugtragfläche steigt die Luftgeschwindigkeit über der gekrümmten Oberseite im Vergleich zur Unterseite, wodurch ein Druckabfall entsteht, der nach dem Bernoulli-Prinzip Auftrieb erzeugt.
Study smarter
Tips
- Definiere immer zunächst ein Bezugsniveau (h=0), bevor du die Gleichung aufstellst.
- Stelle sicher, dass das Fluid als inkompressibel behandelt werden kann. Wenn die Mach-Zahl > 0.3 ist, müssen stattdessen Gleichungen für kompressible Strömung verwendet werden.
- Denke daran, dass die Gleichung streng genommen nur entlang einer einzelnen Stromlinie gilt.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Den hydrostatischen Druckterm (rho*g*h) bei bedeutenden Höhenunterschieden vernachlässigen.
- Versuchen, die Gleichung auf Systeme mit nennenswerten viskosen Verlusten, etwa lange Rohre mit Reibung, anzuwenden, ohne die erweiterte Energiegleichung zu verwenden.
- Statischen Druck mit Staudruck verwechseln.
Common questions
Frequently Asked Questions
Wende sie bei der Analyse stationärer, inkompressibler und reibungsfreier (inviskoser) Strömung entlang einer Stromlinie an, wenn sich die Fluideigenschaften zeitlich nicht ändern.
Sie ist wesentlich für die Auslegung von Rohrleitungssystemen, Tragflächen und hydraulischen Geräten und erlaubt Ingenieuren, Geschwindigkeitsänderungen anhand von Druckdifferenzen zu berechnen.
Den hydrostatischen Druckterm (rho*g*h) bei bedeutenden Höhenunterschieden vernachlässigen. Versuchen, die Gleichung auf Systeme mit nennenswerten viskosen Verlusten, etwa lange Rohre mit Reibung, anzuwenden, ohne die erweiterte Energiegleichung zu verwenden. Statischen Druck mit Staudruck verwechseln.
An einer Flugzeugtragfläche steigt die Luftgeschwindigkeit über der gekrümmten Oberseite im Vergleich zur Unterseite, wodurch ein Druckabfall entsteht, der nach dem Bernoulli-Prinzip Auftrieb erzeugt.
Definiere immer zunächst ein Bezugsniveau (h=0), bevor du die Gleichung aufstellst. Stelle sicher, dass das Fluid als inkompressibel behandelt werden kann. Wenn die Mach-Zahl > 0.3 ist, müssen stattdessen Gleichungen für kompressible Strömung verwendet werden. Denke daran, dass die Gleichung streng genommen nur entlang einer einzelnen Stromlinie gilt.
References
Sources
- White, F. M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill Education.
- Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.