Kapitalwert (NPV) — 1 Periode | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Der einperiodige Kapitalwert berechnet die Differenz zwischen dem aktuellen Wert eines erwarteten zukünftigen Zahlungsmittelzuflusses und den anfänglichen Investitionskosten. Durch die Abzinsung des zukünftigen Betrags berücksichtigt er den Zeitwert des Geldes und die Opportunitätskosten des Kapitals über einen bestimmten Zeitraum.

When to use: Diese Formel wird für kurzfristige finanzielle Entscheidungen verwendet, bei denen eine einzelne Investition genau eine Periode später zu einer Auszahlung führt. Sie ist üblich bei Überbrückungskrediten, kurzfristigen Lagerumschlägen oder einfachen Investitionsrechnungs-Szenarien, bei denen der Diskontierungssatz bekannt ist.

Why it matters: Sie liefert ein klares „Ja-oder-Nein“-Signal für Investitionen: Ein positives Ergebnis bedeutet, dass das Projekt Wert schafft, während ein negatives Ergebnis darauf hindeutet, dass die Investition im Vergleich zu anderen Möglichkeiten Wert vernichten wird. Sie ist der Goldstandard zur Beurteilung der Wertschöpfung im Finanzbereich.

Symbols

Variables

NPV = Net Present Value, $C_{1}$ = Cash Flow Year 1, r = Discount Rate, $C_{0}$ = Initial Cost

NPV

Net Present Value

$

C_{1}

Cash Flow Year 1

$

r

Discount Rate

Variable

C_{0}

Initial Cost

$

Walkthrough

Derivation

Verständnis des Kapitalwerts (Net Present Value - NPV)

Der NPV vergleicht den Barwert der Cashflows einer Investition mit ihren Anschaffungskosten. Für eine Periode ist es der diskontierte Zufluss abzüglich des ursprünglichen Aufwands.

Cashflows werden zuverlässig geschätzt.
Der Abzinsungssatz r spiegelt die relevante geforderte Rendite (Kapitalkosten/Risiko) wider.
Der Zeitpunkt des Cashflows ist das Periodenende für den Zufluss C1.

1

Ansetzen des Ein-Perioden-NPV:

Die Anschaffungskosten $C_{0}$ sind ein Abfluss zum Zeitpunkt 0, und $C_{1}$ ist der Zufluss am Ende von Periode 1, diskontiert auf den Zeitpunkt 0.

N P V = - C_{0} + \frac{C _{1}}{1 + r}

Note: Für mehrere Perioden: $N P V = - C_{0} + \sum_{t = 1}^{n} \frac{C _{t}}{( 1 + r ) ^{t}}$ . Wenn NPV > 0, schafft das Projekt Wert mit der Rate r.

Result

N P V = - C_{0} + \frac{C _{1}}{1 + r}

Source: AQA A-Level Business — Financial Decision Making

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

Nach C1 umstellen

C_{1} = (N P V + C_{0}) (1 + r)

Beginnen Sie mit der Formel für den Nettobarwert (NPV) für einen Zeitraum. Um $C_{1}$ zum Betreff zu machen, addieren Sie zuerst $C_{0}$ auf beiden Seiten, multiplizieren Sie dann mit $(1 + r)$ und tauschen Sie schließlich die Seiten.

Difficulty: 2/5

Solve for $C_{0}$

Nach C0 umstellen

C_{0} = \frac{C _{1}}{( 1 + r )} - N P V

Um C0 zum Subjekt zu machen, beginnen Sie mit der Formel für den Nettobarwert (NPV) für einen Zeitraum. Addiere C0 auf beiden Seiten und subtrahiere dann NPV auf beiden Seiten.

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Nach r umstellen

r = \frac{C _{1}}{N P V + C _{0}} - 1

Um „r“ (Rabattsatz) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie zunächst den Bruch, indem Sie „ $C_{0}$ “ hinzufügen. Löschen Sie dann den Nenner, indem Sie mit „(1+r)“ multiplizieren, durch „(NPV + $C_{0}$ )“ dividieren und schließlich „1“ subtrahieren.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph ist eine Hyperbel, bei der der Abzinsungssatz r im Nenner erscheint, was dazu führt, dass der Kapitalwert schnell sinkt, wenn der Satz gegen eine horizontale Asymptote ansteigt. Für einen Finanzstudenten veranschaulicht diese Form, dass höhere Abzinsungssätze die Rentabilität einer Investition erheblich beeinträchtigen, da größere Werte von r eine stärkere Verringerung des Barwerts künftiger Cashflows darstellen. Das kritischste Merkmal dieser Kurve ist die umgekehrte Beziehung zwischen dem Abzinsungssatz und dem Kapitalwert, die zeigt, dass selbst kleine Änderungen des Satzes eine unverhältnismäßig große Auswirkung auf das Investitionsergebnis haben, wenn der Satz niedrig ist.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich einen finanziellen Zeitstrahl vor, auf dem eine Anfangsinvestition ein Abfluss zum Zeitpunkt Null ist und ein zukünftiger Cash-Zufluss auf den Zeitpunkt Null zurückgezogen wird, wobei sein Wert basierend auf dem Abzinsungssatz schrumpft, bevor er mit der Anfangsinvestition verglichen wird.

Term

Die Nettozunahme oder -abnahme des Vermögens infolge einer Investition, ausgedrückt in heutigen Euro.

Ein positiver NPV zeigt an, dass die Investition finanziell attraktiv ist, da sie unter Berücksichtigung des Zeitwerts des Geldes mehr Wert generiert als sie kostet.

Term

Der Cashflow, dessen Erhalt am Ende der ersten Periode erwartet wird.

Dies ist der zukünftige finanzielle Vorteil oder Ertrag, den die Investition voraussichtlich abwerfen wird.

Term

Der anfängliche Cash-Abfluss (Kosten), der erforderlich ist, um die Investition zu Beginn (Zeitpunkt Null) zu tätigen.

Dies stellt die Vorab-Kapitalbindung oder die unmittelbaren Kosten des Projekts dar.

Term

Der Abzinsungssatz, der die Opportunitätskosten des Kapitals oder die geforderte Rendite für eine Investition mit ähnlichem Risiko darstellt.

Er quantifiziert, wie viel zukünftiges Geld heute weniger wert ist; ein höheres 'r' bedeutet, dass zukünftige Cashflows stärker diskontiert werden, was ein höheres Risiko oder bessere alternative Investitionsmöglichkeiten widerspiegelt.

Signs and relationships

- C_0: Die Anfangsinvestition $C_{0}$ ist ein Cash-Abfluss, was bedeutet, dass sie den Barbestand des Investors verringert; daher wird sie vom Barwert künftiger Zuflüsse abgezogen.
/(1+r): Dieser Term diskontiert den zukünftigen Cashflow $C_{1}$ auf seinen heutigen Gegenwert. Er berücksichtigt den Zeitwert des Geldes und spiegelt wider, dass heute verfügbares Geld mehr wert ist als derselbe Betrag in der Zukunft.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Alle Geldwerte (NPV, $C_{0}$ , $C_{1}$ ) müssen in derselben Währung ausgedrückt werden, und der Abzinsungssatz (r) muss als dimensionsloser Dezimalwert verwendet werden.

Dimension note

Der Abzinsungssatz (r) ist ein Verhältnis, das eine prozentuale Rendite oder Kosten darstellt, wodurch er dimensionslos wird, wenn er als Dezimalwert ausgedrückt wird.

One free problem

Practice Problem

Ein Unternehmer investiert heute 10.000, um Anlagen aufzurüsten. Er erwartet, dass das Upgrade am Ende des nächsten Jahres zusätzliche Einnahmen von 11.500 generiert. Wenn das Unternehmen eine Rendite von 8 % auf die Investition verlangt, wie hoch ist der Kapitalwert dieses Upgrades?

Hint: Teile den zukünftigen Cashflow (C1) durch 1 plus den Diskontierungssatz und ziehe dann die Anfangskosten (C0) ab.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Entscheidung über den Kauf einer Maschine auf Basis zukünftiger Gewinne wird Kapitalwert (NPV) — 1 Periode verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Gib den Diskontierungssatz 'r' immer als Dezimalzahl an, zum Beispiel ist 5 % gleich 0.05.
C0 stellt den Zahlungsmittelabfluss zu Beginn dar und wird daher vom abgezinsten Zufluss abgezogen.
Wenn der NPV genau null ist, erfüllt die Investition exakt die geforderte Rendite, ohne zusätzlichen Wert zu schaffen.

Avoid these traps

Common Mistakes

Den anfänglichen Abfluss ignorieren.
Falscher Diskontierungssatz.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Der NPV vergleicht den Barwert der Cashflows einer Investition mit ihren Anschaffungskosten. Für eine Periode ist es der diskontierte Zufluss abzüglich des ursprünglichen Aufwands.

Diese Formel wird für kurzfristige finanzielle Entscheidungen verwendet, bei denen eine einzelne Investition genau eine Periode später zu einer Auszahlung führt. Sie ist üblich bei Überbrückungskrediten, kurzfristigen Lagerumschlägen oder einfachen Investitionsrechnungs-Szenarien, bei denen der Diskontierungssatz bekannt ist.

Sie liefert ein klares „Ja-oder-Nein“-Signal für Investitionen: Ein positives Ergebnis bedeutet, dass das Projekt Wert schafft, während ein negatives Ergebnis darauf hindeutet, dass die Investition im Vergleich zu anderen Möglichkeiten Wert vernichten wird. Sie ist der Goldstandard zur Beurteilung der Wertschöpfung im Finanzbereich.

Den anfänglichen Abfluss ignorieren. Falscher Diskontierungssatz.

Im Kontext von Entscheidung über den Kauf einer Maschine auf Basis zukünftiger Gewinne wird Kapitalwert (NPV) — 1 Periode verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Gib den Diskontierungssatz 'r' immer als Dezimalzahl an, zum Beispiel ist 5 % gleich 0.05. C0 stellt den Zahlungsmittelabfluss zu Beginn dar und wird daher vom abgezinsten Zufluss abgezogen. Wenn der NPV genau null ist, erfüllt die Investition exakt die geforderte Rendite, ohne zusätzlichen Wert zu schaffen.

Yes. Open the Kapitalwert (NPV) — 1 Periode equation in the Equation Encyclopedia app, then tap "Copy Excel Template" or "Copy Sheets Template" to copy a ready-to-paste spreadsheet template. Replace the example values with your own inputs.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Ross, S. A., Westerfield, R. W., & Jordan, B. D. (2022). Fundamentals of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Net present value
Net present value (Wikipedia article). Retrieved from https://en.wikipedia.org/wiki/Net_present_value
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, and Allen
Fundamentals of Corporate Finance by Ross, Westerfield, and Jordan
Corporate Finance by Berk and DeMarzo
AQA A-Level Business — Financial Decision Making

Kapitalwert (NPV) — 1 Periode

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Variables

Derivation

Ansetzen des Ein-Perioden-NPV:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

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Internal Rate of Return (IRR) — 1 period

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