Gegenwartswert einer Perpetuität mit Wachstum

Core idea

Overview

Die Formel für den Present Value of a Perpetuity with Growth, oft Gordon Growth Model genannt, ist ein grundlegendes Instrument der Finanzwirtschaft zur Bewertung von Vermögenswerten, von denen erwartet wird, dass sie unbegrenzt Zahlungsströme erzeugen, wobei jede Zahlung mit einer konstanten Rate wächst. Sie diskontiert diese zukünftigen wachsenden Zahlungsströme auf ihren heutigen Barwert und liefert so einen einzigen Wert, der den aktuellen Wert dieses zukünftigen Einkommensstroms repräsentiert. Dieses Modell ist besonders nützlich für die Bewertung von Aktien, Immobilien oder Unternehmen, die eine unbegrenzte Lebensdauer und stabiles Wachstum haben.

When to use: Wende diese Formel an, wenn ein Vermögenswert bewertet wird, von dem erwartet wird, dass er unbegrenzt Zahlungsströme erzeugt und diese Zahlungsströme mit einer konstanten, stabilen Rate wachsen. Es ist entscheidend, dass der Diskontierungssatz (r) größer ist als die Wachstumsrate (g), damit die Formel einen sinnvollen, endlichen Barwert ergibt. Dieses Modell wird häufig in der Eigenkapitalbewertung verwendet, insbesondere für reife Unternehmen mit vorhersehbarem Wachstum.

Why it matters: Diese Gleichung ist für Investoren und Finanzanalysten unverzichtbar, da sie einen theoretischen Rahmen zur Bestimmung des inneren Werts einkommensgenerierender Vermögenswerte bietet. Sie hilft bei Anlageentscheidungen, der Beurteilung der Fairness von Vermögenspreisen und dem Verständnis der Auswirkungen von Wachstums- und Diskontierungssätzen auf Bewertungen. Ihre Anwendung reicht bis in die Unternehmensfinanzierung für Investitionsrechnung und strategische Planung.

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

Formel: Barwert einer ewigen Rente mit Wachstum

Leitet die Formel für den Barwert eines unendlichen Stroms von Cashflows ab, die mit einer konstanten Rate wachsen.

Cashflows wachsen unendlich mit einer konstanten Rate (g).
Der Diskontierungssatz (r) ist konstant und größer als die Wachstumsrate (g).
Der erste Cashflow (C1) erfolgt am Ende der ersten Periode.

1

Definition des Barwerts als Summe diskontierter Cashflows:

Der Barwert (PV) ist die Summe aller zukünftigen Cashflows, jeweils auf die Gegenwart abgezinst. C1 ist der Cashflow in der ersten Periode, und er wächst in jeder folgenden Periode um (1+g).

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

Ausklammern und Erkennen als geometrische Reihe:

Klammern Sie C1 aus. Der Ausdruck in den Klammern ist eine unendliche geometrische Reihe, bei der das erste Glied a = 1/(1+r) und der Quotient x = (1+g)/(1+r) ist.

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

Anwendung der Summenformel für unendliche geometrische Reihen:

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe a + ax + ax^2 + ... ist a / (1-x), sofern |x| < 1 gilt. Hier ist das erste Glied C1/(1+r) und der Quotient (1+g)/(1+r). Die Bedingung |x|<1 impliziert r > g.

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

Vereinfachung des Ausdrucks:

Vereinfachen Sie den Nenner durch Bilden eines Hauptnenners. Die Terme (1+r) im Zähler und Nenner des Hauptbruchs kürzen sich weg.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

Finale Formel:

Dies ist die vereinfachte Formel für den Barwert einer ewigen Rente mit Wachstum, auch bekannt als Gordon-Growth-Modell.

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: Diese Formel ist nur gültig, wenn der Diskontierungssatz (r) strikt größer als die Wachstumsrate (g) ist.

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

Nach C1 umstellen

C_{1} = P V \cdot (r - g)

Um $C_{1}$ (Cashflow in Periode 1) zu isolieren, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit $(r - g)$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Barwert einer Ewigkeit mit Wachstum: Machen Sie das Thema

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

Um $r$ (Discount Rate) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie zuerst den Term $(r - g)$ und addieren dann $g$ auf beiden Seiten.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

Barwert einer Ewigkeit mit Wachstum: Machen Sie g zum Thema

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

Um $g$ (Wachstumsrate) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie zunächst den Term $(r - g)$ , subtrahieren Sie dann $r$ und multiplizieren Sie ihn mit -1 oder ordnen Sie die Terme neu an.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph bildet eine Hyperbel, da der Diskontsatz im Nenner erscheint, was bedeutet, dass der Barwert sinkt, wenn der Diskontsatz steigt. Für einen Wirtschaftsstudenten veranschaulicht diese Form, dass höhere Diskontsätze den aktuellen Wert künftiger Cashflows erheblich verringern, während sehr kleine Diskontsätze den Barwert stark ansteigen lassen. Das wichtigste Merkmal dieser Kurve ist, dass der Barwert niemals Null erreicht, was widerspiegelt, dass selbst bei einem hohen Diskontsatz ein unendlicher Strom wachsender Cashflows einen gewissen positiven Wert behält.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

Die Formel summiert eine unendliche Reihe zukünftiger Cashflows auf, die jeweils um 'g' wachsen, aber mit 'r' diskontiert werden, wobei der Nettoeffekt (r-g) sicherstellt, dass die Summe gegen einen endlichen Barwert konvergiert, ähnlich wie eine abnehmende, aber nie endende Kurve.

Term

Der aktuelle Geldwert eines unendlichen Stroms zukünftiger Cashflows.

Was ein ewiger, wachsender Einkommensstrom heute wert ist. Ein höherer PV bedeutet, dass der Vermögenswert jetzt wertvoller ist.

Term

Der erwartete Cashflow, der am Ende der ersten Periode eingeht.

Die erste Zahlung in der unendlichen Reihe. Ein größeres

C_{1}

erhöht direkt den Barwert.

Term

Der Diskontierungssatz, der die geforderte Rendite oder die Opportunitätskosten des Kapitals darstellt.

Die Rate, mit der zukünftiges Geld auf sein heutiges Äquivalent abgewertet wird. Ein höheres 'r' verringert den Barwert, was ein höheres Risiko oder bessere alternative Investitionen widerspiegelt.

Term

Die konstante Rate, mit der die zukünftigen Cashflows erwartungsgemäß wachsen.

Wie schnell der Einkommensstrom pro Periode zunimmt. Ein höheres 'g' erhöht den Barwert, da zukünftige Zahlungen größer ausfallen.

Signs and relationships

r - g: Die Differenz 'r - g' stellt den effektiven Netto-Abzinsungssatz dar. Die Wachstumsrate 'g' verringert die Wirkung des Diskontierungssatzes 'r', wodurch zukünftige Cashflows relativ wertvoller werden.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Diese Gleichung erfordert konsistente Währungseinheiten für Zahlungsströme und Barwert sowie konsistente dimensionslose Einheiten (Dezimalzahlen) für Diskontierungs- und Wachstumsraten, alles über denselben Zeitraum.

Dimension note

Der Diskontierungssatz (r) und die Wachstumsrate (g) sind dimensionslose Verhältnisse, die in Berechnungen typischerweise als Dezimalzahlen ausgedrückt werden. Der Barwert (PV) und der Zahlungsstrom ( $C_{1}$ ) werden in monetären Einheiten ausgedrückt.

One free problem

Practice Problem

Von einem Unternehmen wird erwartet, dass es nächstes Jahr eine Dividende von 100 $ zahlt, und diese Dividenden sollen auf unbestimmte Zeit mit einer konstanten Rate von 5% wachsen. Wenn die geforderte Rendite für diese Aktie 10% beträgt, wie hoch ist der Barwert dieser ewigen Rente?

Hint: Stelle sicher, dass der Diskontierungssatz größer ist als die Wachstumsrate.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Bewertung einer Aktie mit stabiler, wachsender Dividendenpolitik wird Present Value of a Perpetuity with Growth verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Stelle sicher, dass r > g gilt; andernfalls liefert die Formel einen unendlichen oder negativen Wert, was bedeutet, dass das Modell nicht anwendbar ist.
C1 steht für den Cashflow am Ende der ersten Periode, nicht der aktuellen Periode (C0).
Sowohl r als auch g sollten als Dezimalzahlen ausgedrückt werden (z. B. 5% als 0.05).
Das Modell unterstellt konstantes Wachstum und eine unendliche Lebensdauer, was starke Annahmen sind; nutze es mit Vorsicht und ziehe andere Bewertungsmethoden in Betracht.

Avoid these traps

Common Mistakes

C0 statt C1 als anfänglichen Cashflow verwenden.
Die Formel anwenden, wenn r kleiner oder gleich g ist.
Prozentsätze für r und g nicht vor der Berechnung in Dezimalzahlen umwandeln.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Leitet die Formel für den Barwert eines unendlichen Stroms von Cashflows ab, die mit einer konstanten Rate wachsen.

Wende diese Formel an, wenn ein Vermögenswert bewertet wird, von dem erwartet wird, dass er unbegrenzt Zahlungsströme erzeugt und diese Zahlungsströme mit einer konstanten, stabilen Rate wachsen. Es ist entscheidend, dass der Diskontierungssatz (r) größer ist als die Wachstumsrate (g), damit die Formel einen sinnvollen, endlichen Barwert ergibt. Dieses Modell wird häufig in der Eigenkapitalbewertung verwendet, insbesondere für reife Unternehmen mit vorhersehbarem Wachstum.

Diese Gleichung ist für Investoren und Finanzanalysten unverzichtbar, da sie einen theoretischen Rahmen zur Bestimmung des inneren Werts einkommensgenerierender Vermögenswerte bietet. Sie hilft bei Anlageentscheidungen, der Beurteilung der Fairness von Vermögenspreisen und dem Verständnis der Auswirkungen von Wachstums- und Diskontierungssätzen auf Bewertungen. Ihre Anwendung reicht bis in die Unternehmensfinanzierung für Investitionsrechnung und strategische Planung.

C0 statt C1 als anfänglichen Cashflow verwenden. Die Formel anwenden, wenn r kleiner oder gleich g ist. Prozentsätze für r und g nicht vor der Berechnung in Dezimalzahlen umwandeln.

Im Kontext von Bewertung einer Aktie mit stabiler, wachsender Dividendenpolitik wird Present Value of a Perpetuity with Growth verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Stelle sicher, dass r > g gilt; andernfalls liefert die Formel einen unendlichen oder negativen Wert, was bedeutet, dass das Modell nicht anwendbar ist. C1 steht für den Cashflow am Ende der ersten Periode, nicht der aktuellen Periode (C0). Sowohl r als auch g sollten als Dezimalzahlen ausgedrückt werden (z. B. 5% als 0.05). Das Modell unterstellt konstantes Wachstum und eine unendliche Lebensdauer, was starke Annahmen sind; nutze es mit Vorsicht und ziehe andere Bewertungsmethoden in Betracht.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

Definition des Barwerts als Summe diskontierter Cashflows:

Ausklammern und Erkennen als geometrische Reihe:

Anwendung der Summenformel für unendliche geometrische Reihen:

Vereinfachung des Ausdrucks:

Finale Formel:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Frequently Asked Questions

Sources