Compensated (Hicksian) Demand Function

Core idea

Overview

Die Compensated (Hicksian) Demand Function, abgeleitet aus Shephard's Lemma, beschreibt die Menge eines Gutes, die ein Konsument nachfragen würde, um ein bestimmtes Nutzenniveau zu erreichen, wobei sein Einkommen für Preisänderungen 'kompensiert' wird. Im Gegensatz zur Marshall'schen Nachfrage isoliert die Hicks'sche Nachfrage den Substitutionseffekt, indem sie den Nutzen konstant hält, und ist daher ein zentrales Konzept der Wohlfahrtsökonomik zur Analyse der tatsächlichen Lebenshaltungskosten und der Auswirkungen von Preisänderungen auf das Wohlergehen der Konsumenten, frei von Einkommenseffekten.

When to use: Diese Formel wird in der Mikroökonomie verwendet, um die Hicks'sche Nachfragefunktion für ein Gut herzuleiten, wenn die Expenditure Function bekannt ist. Sie ist wesentlich für die Analyse des Konsumentenverhaltens unter der Annahme konstanten Nutzens, insbesondere wenn Substitutions- und Einkommenseffekte von Preisänderungen getrennt werden oder Wohlfahrtsanalysen durchgeführt werden.

Why it matters: Das Verständnis der Hicks'schen Nachfrage ist grundlegend für fortgeschrittene Konsumententheorie und Wohlfahrtsökonomik. Sie ermöglicht es Ökonomen, die Wohlfahrtswirkungen von Preisänderungen präzise zu messen (z. B. mittels kompensierender Variation oder äquivalenter Variation) und echte Lebenshaltungskostenindizes zu konstruieren, wodurch ein genaueres Bild des Wohlergehens der Konsumenten entsteht als mit der üblichen Marshall'schen Nachfrage.

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

Formel: Kompensierte (Hicks’sche) Nachfragefunktion (Shephards Lemma)

Die Hicks’sche Nachfrage nach einem Gut wird durch die partielle Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis dieses Gutes ermittelt.

Die Präferenzen der Konsumenten sind rational, vollständig und transitiv.
Die Ausgabenfunktion $e (p, u)$ ist nach den Preisen differenzierbar.
Der Konsument minimiert seine Ausgaben, um ein gegebenes Nutzenniveau $u$ zu erreichen.

1

Definition der Ausgabenfunktion:

Die Ausgabenfunktion $e (p, u)$ stellt die minimalen Ausgaben dar, die erforderlich sind, um ein Nutzenniveau $u$ bei einem gegebenen Preisvektor $p$ für Güter $x$ zu erreichen. Dies ist ein Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen.

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

Anwendung des Envelope-Theorems (Shephards Lemma):

Gemäß Shephards Lemma, einer direkten Anwendung des Envelope-Theorems, ergibt die partielle Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis von Gut $i$ ( $p_{i}$ ) die Hicks’sche (kompensierte) Nachfragefunktion für Gut $i$ , $h_{i} (p, u)$ . Das bedeutet, dass die Menge des nachgefragten Gutes $i$ zur Aufrechterhaltung eines konstanten Nutzenniveaus $u$ genau der Rate entspricht, mit der sich die Mindestausgaben in Bezug auf $p_{i}$ ändern.

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

Hicksian-Nachfrage: Isolieren Sie $p$ .

No direct algebraic rearrangement for p

$p$ (Preisvektor) zum Subjekt der Hicksschen Nachfragefunktion zu machen, ist im Allgemeinen nicht durch einfache algebraische Umordnung möglich, da es in eine partielle Ableitung und die Ausgabenfunktion eingebettet ist.

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

Hicksian-Nachfrage: Isolieren Sie $u$ .

No direct algebraic rearrangement for u

$u$ (Nutzungsgrad) zum Subjekt der Hicksschen Nachfragefunktion zu machen, ist im Allgemeinen nicht durch einfache algebraische Umordnung möglich, da es sich um eine Eingabe für die Ausgabenfunktion und die Ableitung handelt.

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

Hicksian-Nachfrage: Isolieren Sie $e$ .

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

Um $e (p, u)$ (Ausgabenfunktion) zum Subjekt zu machen, muss die Hickssche Nachfragefunktion integriert werden, bei der es sich um die Umkehroperation der Differentiation und nicht um eine einfache algebraische Umordnung handelt.

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

Hicksian-Nachfrage: Isolieren Sie $p_{i}$ .

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

$p_{i}$ (Preis des Gutes i) zum Subjekt der Hicksschen Nachfragefunktion zu machen, ist im Allgemeinen nicht durch einfache algebraische Umordnung möglich, da es sich um die Differenzierungsvariable und einen Input für die Ausgabenfunktion handelt.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich einen Konsumenten vor, der versucht, auf einer bestimmten „Glücks-Höhenlinie“ (Indifferenzkurve) auf einer Karte der Konsummöglichkeiten zu bleiben. Die Hicks’sche Nachfrage nach einem Gut zeigt, wie viel er von diesem Gut bei verschiedenen Preisen wählen würde.

Term

Die Hicks’sche (kompensierte) Nachfrage nach Gut i, die die Menge von Gut i darstellt, die ein Konsument kaufen würde, um ein spezifisches Nutzenniveau u bei einem gegebenen Preisvektor p zu erreichen.

Wie viel man von Gut i kaufen würde, wenn das Einkommen perfekt angepasst würde, um das Glück (den Nutzen) genau gleich zu halten, egal wie sich die Preise ändern. Sie isoliert den reinen „Substitutionseffekt“ einer Preisänderung.

Term

Die Ausgabenfunktion, also die minimalen Gesamtausgaben (Kosten), die ein Konsument benötigt, um ein spezifisches Nutzenniveau u zu erreichen, wenn er einem gegebenen Preisvektor p für alle Güter gegenübersteht.

Der kleinste Geldbetrag, den man ausgeben muss, um ein festes Maß an Zufriedenheit oder Wohlbefinden unter Berücksichtigung aller aktuellen Preise zu erreichen.

Term

Der Marktpreis pro Einheit von Gut i.

Die Kosten für den Kauf einer Einheit von Gut i auf dem Markt.

Term

Ein spezifisches, festes Nutzenniveau (Zufriedenheit oder Wohlbefinden), von dem angenommen wird, dass der Konsument es beibehält.

Ein konstantes „Glücksziel“, das der Konsument unabhängig von Preisänderungen zu erreichen versucht.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Diese Gleichung wird verwendet, um die dimensionale Konsistenz sicherzustellen, wobei die Hickssche Nachfrage nach einem Gut, die eine Menge darstellt, aus der partiellen Ableitung der Ausgabenfunktion (monetäre Einheiten) abgeleitet wird

One free problem

Practice Problem

Gegeben sei eine Expenditure Function $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ , wobei $p_{1}$ und $p_{2}$ die Preise zweier Güter und $u$ das Nutzenniveau sind. Leite die Hicks'sche Nachfragefunktion für Gut 1, $h_{1} (p, u)$ , her.

Hint: Wende die Regel für partielle Ableitungen an: $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ und bei Bedarf die Kettenregel.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Berechnung der kompensierten Nachfrage nach Benzin, um trotz schwankender Treibstoffpreise ein bestimmtes Lebensstandard-Niveau zu halten wird Compensated (Hicksian) Demand Function verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Beachte, dass die Hicks'sche Nachfrage den Nutzen ( $u$ ) konstant hält, nicht das Einkommen.
Die Expenditure Function $e (p, u)$ gibt die minimalen Kosten an, um bei Preisen $p$ den Nutzen $u$ zu erreichen.
Die partielle Ableitung $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ bedeutet, dass $e$ nach $p_{i}$ differenziert wird, während alle anderen Preise und $u$ konstant gehalten werden.
Diese Beziehung ist als Shephard's Lemma bekannt.

Avoid these traps

Common Mistakes

Die Hicks'sche Nachfrage mit der Marshall'schen Nachfrage verwechseln (die das Einkommen konstant hält).
Die partielle Differentiation falsch durchführen, insbesondere bei mehreren Preisvariablen.
Vergessen, dass $p$ ein Vektor *aller* Preise ist und nicht nur $p_{i}$ .

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Die Hicks’sche Nachfrage nach einem Gut wird durch die partielle Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis dieses Gutes ermittelt.

Diese Formel wird in der Mikroökonomie verwendet, um die Hicks'sche Nachfragefunktion für ein Gut herzuleiten, wenn die Expenditure Function bekannt ist. Sie ist wesentlich für die Analyse des Konsumentenverhaltens unter der Annahme konstanten Nutzens, insbesondere wenn Substitutions- und Einkommenseffekte von Preisänderungen getrennt werden oder Wohlfahrtsanalysen durchgeführt werden.

Das Verständnis der Hicks'schen Nachfrage ist grundlegend für fortgeschrittene Konsumententheorie und Wohlfahrtsökonomik. Sie ermöglicht es Ökonomen, die Wohlfahrtswirkungen von Preisänderungen präzise zu messen (z. B. mittels kompensierender Variation oder äquivalenter Variation) und echte Lebenshaltungskostenindizes zu konstruieren, wodurch ein genaueres Bild des Wohlergehens der Konsumenten entsteht als mit der üblichen Marshall'schen Nachfrage.

Die Hicks'sche Nachfrage mit der Marshall'schen Nachfrage verwechseln (die das Einkommen konstant hält). Die partielle Differentiation falsch durchführen, insbesondere bei mehreren Preisvariablen. Vergessen, dass $\mathbf{p}$ ein Vektor *aller* Preise ist und nicht nur $p_i$.

Im Kontext von Berechnung der kompensierten Nachfrage nach Benzin, um trotz schwankender Treibstoffpreise ein bestimmtes Lebensstandard-Niveau zu halten wird Compensated (Hicksian) Demand Function verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Beachte, dass die Hicks'sche Nachfrage den Nutzen ($u$) konstant hält, nicht das Einkommen. Die Expenditure Function $e(\mathbf{p}, u)$ gibt die minimalen Kosten an, um bei Preisen $\mathbf{p}$ den Nutzen $u$ zu erreichen. Die partielle Ableitung $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ bedeutet, dass $e$ nach $p_i$ differenziert wird, während alle anderen Preise und $u$ konstant gehalten werden. Diese Beziehung ist als Shephard's Lemma bekannt.

References

Sources

Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Wikipedia: Hicksian demand function
Wikipedia: Shephard's lemma
Microeconomic Analysis, 3rd Edition by Hal R. Varian
Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 12th Edition by Walter Nicholson and Christopher Snyder
Nicholson, Walter, and Christopher Snyder. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. Cengage Learning.
Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Overview

Variables

Derivation

Definition der Ausgabenfunktion:

Anwendung des Envelope-Theorems (Shephards Lemma):

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Marshallian Demand Function

Expenditure Function

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