Produktregel

Core idea

Overview

Die Produktregel ist eine grundlegende Ableitungsformel, mit der die Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die das Produkt von zwei oder mehr differenzierbaren Funktionen ist. Sie besagt, dass die Ableitung eines Produkts nicht einfach das Produkt der einzelnen Ableitungen ist, sondern eine bestimmte Kombination aus den ursprünglichen Funktionen und ihren jeweiligen Änderungsraten.

When to use: Wende diese Regel an, wenn du auf eine Funktion triffst, die aus zwei miteinander multiplizierten Teilfunktionen besteht, etwa algebraischen, trigonometrischen oder exponentiellen Produkten. Sie ist erforderlich, wenn beide Faktoren im Produkt nichtkonstante Funktionen derselben unabhängigen Variablen sind.

Why it matters: Diese Regel ist wesentlich für die Berechnung von Änderungsraten in Systemen mit wechselwirkenden Variablen, etwa bei der Berechnung der Leistung in einem Stromkreis (Spannung mal Strom) oder des Umsatzwachstums in der Wirtschaft (Preis mal Menge). Sie bildet die Grundlage der partiellen Integration in der Integralrechnung.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

Herleitung der Produktregel

Die Produktregel differenziert das Produkt zweier Funktionen u(x) und v(x). Sie wird aus den ersten Prinzipien (Differenzenquotient) durch Addition und Subtraktion eines geeigneten Terms abgeleitet.

u(x) und v(x) sind differenzierbar.
Die relevanten Grenzwerte existieren.

1

Beginne mit den ersten Prinzipien:

Wende die Definition der Ableitung auf $f (x) = u (x) v (x)$ an.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

Addiere und subtrahiere u(x+h)v(x):

Dies ändert die Form des Ausdrucks, ohne seinen Wert zu verändern.

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

Gruppiere und klammere aus:

Teile den Ausdruck in zwei Differenzenquotienten auf und klammere gemeinsame Terme aus.

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

Bilde den Grenzwert:

Für $h \to 0$ gilt $u (x + h) \to u (x)$ und die Quotienten werden zu Ableitungen.

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

Nach u umstellen

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

Isolieren Sie $u$ , indem Sie den $v \frac{d u}{d x}$ -Term subtrahieren und durch $\frac{d v}{d x}$ dividieren.

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

Nach v umstellen

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

Isolieren Sie $v$ , indem Sie den $u \frac{d v}{d x}$ -Term subtrahieren und durch $\frac{d u}{d x}$ dividieren.

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

Nach du/dx umstellen

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

Isolieren Sie $\frac{d u}{d x}$ , indem Sie den $u \frac{d v}{d x}$ -Term subtrahieren und durch $v$ dividieren.

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

Nach dv/dx umstellen

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

Isolieren Sie $\frac{d v}{d x}$ , indem Sie den $v \frac{d u}{d x}$ -Term subtrahieren und durch $u$ dividieren.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich ein Rechteck vor, dessen Seitenlängen Funktionen einer unabhängigen Variablen sind; die Änderungsrate seiner Fläche ist die Summe aus der Rate, mit der sich seine Breite ändert (skaliert mit seiner aktuellen Höhe)

Term

Die momentane Änderungsrate des Produkts zweier Funktionen, u und v, in Bezug auf die unabhängige Variable x.

Wie schnell die durch das Produkt u*v dargestellte Gesamtgröße zu- oder abnimmt, wenn sich x ändert.

Term

Der Wert der ersten Funktion an einem bestimmten Punkt x.

Die aktuelle 'Größe' oder der 'Beitrag' des ersten Faktors zum Produkt.

Term

Der Wert der zweiten Funktion an einem bestimmten Punkt x.

Die aktuelle 'Größe' oder der 'Beitrag' des zweiten Faktors zum Produkt.

Term

Die momentane Änderungsrate der ersten Funktion u in Bezug auf x.

Wie schnell sich der erste Faktor u ändert, wenn sich x ändert, unabhängig von v.

Term

Die momentane Änderungsrate der zweiten Funktion v in Bezug auf x.

Wie schnell sich der zweite Faktor v ändert, wenn sich x ändert, unabhängig von u.

Signs and relationships

+: Die Gesamtänderungsrate des Produkts ist die Summe aus zwei verschiedenen Beiträgen: der Änderungsrate von v skaliert mit u und der Änderungsrate von u skaliert mit v.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Die Produktregel stellt bei der Differentiation einer Funktion, die das Produkt zweier anderer Funktionen ist, die dimensionale Konsistenz sicher: Die Einheiten der Ableitung sind die Einheiten des Funktionsprodukts geteilt durch die Einheit der unabhängigen Variable.

One free problem

Practice Problem

Eine Funktion ist als Produkt zweier Teilfunktionen u und v definiert. Wenn u = 5 und v = 10 gilt und ihre jeweiligen Ableitungen du = 2 und dv = 4 sind, berechne die gesamte Ableitung dy.

Hint: Setze die Werte in die Formel ein: dy = (u ×dv) + (v ×du).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Gedämpfte harmonische Bewegung (e^-x * sinx) wird Produktregel verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, die Rechnung mit Form, Änderungsrate, Wahrscheinlichkeit oder Einschränkung im Modell zu verbinden.

Study smarter

Tips

Bezeichne u und v ausdrücklich, bevor du ableitest.
Berechne du und dv getrennt, um algebraische Fehler zu vermeiden.
Denke daran, dass die Reihenfolge der beiden addierten Terme keine Rolle spielt.
Verwende beim Einsetzen Klammern, damit die Vorzeichen korrekt bleiben.

Avoid these traps

Common Mistakes

Nur die Ableitungen multiplizieren (u'v').
Vorzeichenfehler.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Die Produktregel differenziert das Produkt zweier Funktionen u(x) und v(x). Sie wird aus den ersten Prinzipien (Differenzenquotient) durch Addition und Subtraktion eines geeigneten Terms abgeleitet.

Wende diese Regel an, wenn du auf eine Funktion triffst, die aus zwei miteinander multiplizierten Teilfunktionen besteht, etwa algebraischen, trigonometrischen oder exponentiellen Produkten. Sie ist erforderlich, wenn beide Faktoren im Produkt nichtkonstante Funktionen derselben unabhängigen Variablen sind.

Diese Regel ist wesentlich für die Berechnung von Änderungsraten in Systemen mit wechselwirkenden Variablen, etwa bei der Berechnung der Leistung in einem Stromkreis (Spannung mal Strom) oder des Umsatzwachstums in der Wirtschaft (Preis mal Menge). Sie bildet die Grundlage der partiellen Integration in der Integralrechnung.

Nur die Ableitungen multiplizieren (u'v'). Vorzeichenfehler.

Im Kontext von Gedämpfte harmonische Bewegung (e^-x * sinx) wird Produktregel verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, die Rechnung mit Form, Änderungsrate, Wahrscheinlichkeit oder Einschränkung im Modell zu verbinden.

Bezeichne u und v ausdrücklich, bevor du ableitest. Berechne du und dv getrennt, um algebraische Fehler zu vermeiden. Denke daran, dass die Reihenfolge der beiden addierten Terme keine Rolle spielt. Verwende beim Einsetzen Klammern, damit die Vorzeichen korrekt bleiben.

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Beginne mit den ersten Prinzipien:

Addiere und subtrahiere u(x+h)v(x):

Gruppiere und klammere aus:

Bilde den Grenzwert:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources