EngineeringStrömungsmechanikUniversity

IBUndergraduate

Radiale Druckverteilung

Berechnet das Druckprofil eines Fluids in einem radialen Spalt zwischen zwei konzentrischen Zylindern mit Rotationsströmung.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Diese Gleichung modelliert die räumliche Druckvariation in einer Flüssigkeitsschicht, die innerhalb eines ringförmigen Raums einer Rotationsbewegung unterliegt. Sie berücksichtigt die Auswirkungen der Flüssigkeitsdichte, der Winkelgeschwindigkeit und des Radiusverhältnisses, das durch die inneren und äußeren Zylinderbeschränkungen definiert ist. Der Ausdruck liefert eine geschlossene Lösung zur Bestimmung von Druckdifferenzen relativ zu einem Referenzpunkt innerhalb des Systems.

When to use: Verwenden Sie dies bei der Analyse von stationären, inkompressiblen, laminaren Strömungen im ringförmigen Bereich zwischen rotierenden konzentrischen Zylindern.

Why it matters: Entscheidend für die Auslegung von Gleitlagern, Dichtspalten und das Verständnis der Drehmomentübertragung in rotierenden Maschinen.

Symbols

Variables

P - $P_{κ R}$ = Pressure Difference, $ρ$ = Fluid Density, $Ω_{0}$ = Angular Velocity, $κ$ = Radius Ratio, R = Outer Radius

P - P_{κ R}

Pressure Difference

ρ

Fluid Density

k g / m^{3}

Ω_{0}

Angular Velocity

rad/s

κ

Radius Ratio

dimensionless

R

Outer Radius

m

r

Radial Position

m

Walkthrough

Derivation

Ableitung der radialen Druckverteilung

Diese Ableitung bestimmt das radiale Druckprofil in einem Fluidstrom, indem die radiale Momentumgleichung für eine stetige, inkompressible, inviscid Wirbelströmung integriert wird.

Steady-State-Flow
Inkompressible Flüssigkeit (Konstantdichte)
Inviscid flow (keine Viskosität)
Axisymmetrie (die Eigenschaften sind nur vom Radius r abhängig)
Strömungsfeld definiert durch eine bestimmte Geschwindigkeitsverteilung

Radiale Momentumgleichung

Für die stationäre, achssymmetrische, in Polarkoordinaten vorgesehene Strömung reduziert sich die radiale Komponente der Navier-Stokes-Gleichung auf die Balance zwischen Druckgradient und Zentrifugalbeschleunigung.

\frac{d P}{d r} = ρ \frac{v _{θ}^{2}}{r}

Note: Dies ist die grundlegende Regelgleichung für Druck in einem rotierenden Fluid.

Velocity Profil Substitution

Wir ersetzen das spezifische Tangentialgeschwindigkeitsprofil $v_{θ} (r)$ in die radiale Momentumgleichung. Dieses Profil stellt eine kombinierte Wirbelströmung zwischen zwei Radien dar.

v_{θ} (r) = \frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}} (\frac{r}{κ R} - \frac{κ R}{r})

Note: Stellen Sie sicher, dass die Geschwindigkeitseinheiten mit den Druckeinheiten übereinstimmen.

Integration

Wir integrieren den Druckgradienten von einem Referenzradius $κ R$ (bei Druck $P_{κ R}$ ) auf einen beliebigen Radius $r$ . Dieser Schritt berechnet die Druckdifferenz basierend auf der Arbeit durch Zentrifugalkräfte.

\int_{P_{κ R}}^{P} d P = \int_{κ R}^{r} ρ \frac{v _{θ} ( r ) ^{2}}{r} d r

Note: Die Integrationsgrenzen müssen dem Referenzdruckpunkt entsprechen.

Endalgebraische Expansion

Die Ausdehnung des quadratischen Geschwindigkeitsterms und die Durchführung der Integration ergibt den endgültigen Ausdruck für die radiale Druckverteilung.

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Note: Der logarithmische Begriff ergibt sich aus der Integration der $1/ r$ -Komponente des Geschwindigkeits-Quaddterms.

Result

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Visual intuition

Graph

Die Druckdifferenz ist eine komplexe Funktion des äußeren Radius, R, mit Begriffen, die quadratisch, umgekehrt quadratisch und innerhalb eines Logarithmus sind. Für einen Schüler bedeutet dies, dass die Beziehung zwischen Druckdifferenz und Außenradius keine einfache Gerade ist und Richtung ändern kann. Das wichtigste Merkmal ist, wie sich die Druckdifferenz verhält, wenn sich der äußere Radius ändert, was einen nichtlinearen und möglicherweise nicht monotonen Trend zeigt. Diese Gleichung hilft zu verstehen, wie sich Druck mit Abstand in bestimmten Engineering-Szenarien ändert.

Graph type: other

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich eine im Spalt zwischen zwei konzentrischen Zylindern eingeschlossene Fluessigkeit vor. Der Innenzylinder hat einen Radius von κR und der aeussere einen Radius von R. Beim Drehen der Zylinder wird das Fluid durch Zentrifugaleffekte nach aussen gelenkt, aber durch die Waende eingeschraenkt. Dadurch entsteht ein Druckgradient, bei dem der Druck beim Bewegen von der Innenwand (κR) in die aeusseren Bereiche zunimmt, aehnlich wie der Luftdruck in einer Zentrifuge zum Aussenrand hin zunimmt.

Term

Differenzdruck relativ zur inneren Zylinderfläche.

Das Netz 'Sequeeze' fühlte sich von der Flüssigkeit an jedem Punkt r im Vergleich zum Druck am Anfangspunkt der Innenwand.

Term

Flüssigkeitsdichte

Schwerere Flüssigkeiten (wie Öl gegen Luft) haben mehr Masse nach außen zu stürzen, was zu deutlich höheren Druckdifferenzen für die gleiche Drehzahl führt.

Term

Winkelgeschwindigkeit der Rotation.

Dies bestimmt die Festigkeit der Zentrifugalkraft; weil sie quadratisch ist, verdoppelt die Spingeschwindigkeit die Druckdifferenz.

Term

Radius-Verhältnis (Inner Radius / Outer Radius).

Ein Mass dafuer, wie "duenn" oder "dick" der Ringspalt ist. Ist κ nahe 1, ist der Spalt sehr schmal; ist κ nahe 0, ist der Innenzylinder nur ein duenner Draht.

Term

Dimensionslose radiale Position.

Das Verhältnis, wo Sie derzeit messen (r) zu wo die Flüssigkeit beginnt (der innere Radius). Es erzählt der Formel, wie weit Sie in die Lücke gereist sind.

Signs and relationships

P - P_{κR}: Dieser Wert ist in der Regel positiv, wenn Sie sich nach aussen bewegen (r > κR), weil die Zentrifugalkraft die Fluessigkeit gegen die aeusseren Grenzen drueckt und so Druck aufbaut.
1 - κ²: Dieser Nennerterm sorgt dafuer, dass, wenn der Spalt zwischen den Zylindern verschwindet (κ sich 1 naehrt), der Druck, der erforderlich ist, um die Fluessigkeit durch diesen unendlich kleinen Raum zu bewegen, gegen Unendlich geht.

One free problem

Practice Problem

Wie verändert sich die Druckverteilung in einem ringförmigen Spalt, wenn die Flüssigkeitsdichte erhöht wird, während die Winkelgeschwindigkeit und die Geometrie gleich bleiben?

Hint: Untersuchen Sie die Rolle des Dichteterms (rho) als Multiplikator in der Druckverteilungsformel.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Bestimmung der Drucklastverteilung über den Schmierölfilm in einer sich schnell drehenden mechanischen Dichtung.

Study smarter

Tips

Stellen Sie vor der Berechnung sicher, dass alle Längeneinheiten (r, R) übereinstimmen.
Prüfen Sie, ob das Radiusverhältnis kappa zwischen 0 und 1 liegt.
Verifizieren Sie, dass das Strömungsregime laminar ist, da turbulente Strömungen andere empirische Korrelationen erfordern.

Avoid these traps

Common Mistakes

Verwechselung der inneren und äußeren Radien innerhalb des kappa-Parameters.
Vernachlässigung der Umrechnung der Drehzahl von U/min in rad/s (Omega_0).
Verwechslung des Referenzdrucks P_kappaR mit dem lokalen Druck P.

Common questions

Frequently Asked Questions

Diese Ableitung bestimmt das radiale Druckprofil in einem Fluidstrom, indem die radiale Momentumgleichung für eine stetige, inkompressible, inviscid Wirbelströmung integriert wird.

Verwenden Sie dies bei der Analyse von stationären, inkompressiblen, laminaren Strömungen im ringförmigen Bereich zwischen rotierenden konzentrischen Zylindern.

Entscheidend für die Auslegung von Gleitlagern, Dichtspalten und das Verständnis der Drehmomentübertragung in rotierenden Maschinen.

Verwechselung der inneren und äußeren Radien innerhalb des kappa-Parameters. Vernachlässigung der Umrechnung der Drehzahl von U/min in rad/s (Omega_0). Verwechslung des Referenzdrucks P_kappaR mit dem lokalen Druck P.

Bestimmung der Drucklastverteilung über den Schmierölfilm in einer sich schnell drehenden mechanischen Dichtung.

Stellen Sie vor der Berechnung sicher, dass alle Längeneinheiten (r, R) übereinstimmen. Prüfen Sie, ob das Radiusverhältnis kappa zwischen 0 und 1 liegt. Verifizieren Sie, dass das Strömungsregime laminar ist, da turbulente Strömungen andere empirische Korrelationen erfordern.

References

Sources

Fundamentals of Fluid Mechanics, 8th Edition, Munson, Young, and Okiishi.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Fluid dynamics
White, Frank M. Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education, 2016.
Munson, Bruce R., et al. Fundamentals of Fluid Mechanics. John Wiley & Sons, 2016.

Radiale Druckverteilung

Overview

Variables

Derivation

Radiale Momentumgleichung

Velocity Profil Substitution

Integration

Endalgebraische Expansion

Graph

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Bernoulli's Equation

Free Slip Boundary Condition

Hagen-Poiseuille Equation

Unsteady state Couette flow

Frequently Asked Questions

Sources