Correlación (PMCC) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

El Coeficiente de Correlación Producto-Momento de Pearson (PMCC) sirve como una medida estadística para cuantificar la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables continuas. Estandariza la covarianza de las variables mediante el producto de sus desviaciones estándar, lo que resulta en un índice adimensional que oscila entre -1 y +1.

When to use: Aplique esta fórmula al analizar datos cuantitativos emparejados para ver si un cambio en una variable corresponde a un cambio proporcional en otra. Está específicamente diseñada para asociaciones lineales y asume que los datos son muestreados de una distribución normal bivariada.

Why it matters: Este coeficiente es una piedra angular del modelado predictivo, permitiendo a los científicos identificar patrones en datos climáticos, a los economistas cubrir riesgos en mercados financieros y a los sociólogos encontrar vínculos entre factores demográficos. Proporciona una base matemática objetiva para concluir si dos fenómenos están estadísticamente vinculados o son independientes.

Symbols

Variables

r = Correlation, $S_{x y}$ = Covariance Sum, $S_{xx}$ = Var Sum X, $S_{y y}$ = Var Sum Y

r

Correlation

Variable

S_{x y}

Covariance Sum

Variable

S_{xx}

Var Sum X

Variable

S_{y y}

Var Sum Y

Variable

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Coeficiente de Correlación del Momento Producto (PMCC)

El PMCC r de Pearson mide la fuerza y dirección de la asociación lineal entre dos variables, variando de -1 a 1.

La relación es aproximadamente lineal.
Los valores atípicos pueden afectar fuertemente a r.

1

Definir las Cantidades Resumen:

Calcule la suma de las desviaciones cruzadas y las sumas de los cuadrados para x e y.

S_{x y} = \sum (x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}), S_{xx} = \sum (x - \overset{x}{ˉ})^{2}, S_{y y} = \sum (y - \overset{y}{ˉ})^{2}

2

Indicar la Fórmula del PMCC:

Divida la medida similar a la covarianza por el producto de las dispersiones para estandarizar el resultado.

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Note: r=1 es correlación lineal positiva perfecta, r=-1 perfecta negativa y r=0 ninguna correlación lineal.

Result

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Source: AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)

Why it behaves this way

Intuition

Imagina un diagrama de dispersión de puntos de datos; el PMCC cuantifica qué tan cerca se agrupan estos puntos alrededor de una línea recta y si esa línea tiene pendiente ascendente (correlación positiva) o descendente (correlación negativa).

Term

Una medida estandarizada de la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables.

Varía de -1 (correlación lineal negativa perfecta) a +1 (correlación lineal positiva perfecta), con 0 indicando ausencia de correlación lineal.

Term

Suma de los productos de las desviaciones de cada variable respecto a su media.

Indica si las variables tienden a aumentar/disminuir juntas (positivo) o en direcciones opuestas (negativo).

Term

Suma de las desviaciones al cuadrado de la variable x respecto a su media.

Representa la variabilidad total o dispersión dentro de los datos de la variable x.

Term

Suma de las desviaciones al cuadrado de la variable y respecto a su media.

Representa la variabilidad total o dispersión dentro de los datos de la variable y.

Term

Un factor de normalización derivado de las variabilidades individuales de x e y.

Escala el término similar a la covarianza (S_xy) de modo que el coeficiente de correlación 'r' esté siempre entre -1 y +1, convirtiéndolo en una medida adimensional.

Signs and relationships

S_{xy}: El signo de S_xy determina directamente el signo de 'r'. Un S_xy positivo indica que a medida que una variable aumenta, la otra tiende a aumentar (correlación positiva).
√(S_{xx)S_{yy}}: Este término siempre es positivo porque S_xx y S_yy son sumas de cuadrados, por lo tanto no negativos. Actúa como un factor de escala, asegurando que el valor absoluto de 'r' nunca exceda 1, estandarizando así la medida de lineal.

Free study cues

Insight

Canonical usage

El coeficiente de correlación de Pearson (PMCC) es una medida estadística adimensional, usada para cuantificar la fuerza y dirección de una relación lineal entre dos variables, y se reporta como un valor

Dimension note

El coeficiente de correlación de Pearson (PMCC) es una razón entre la covarianza de dos variables y el producto de sus desviaciones estándar.

One free problem

Practice Problem

Un investigador está estudiando el vínculo entre las horas de estudio y las puntuaciones de los exámenes. Dada la suma de productos Sxy = 45, la suma de cuadrados para las horas de estudio Sxx = 25 y la suma de cuadrados para las puntuaciones de los exámenes Syy = 100, calcule el coeficiente de correlación r.

Hint: Divida la suma de productos por la raíz cuadrada del producto de las sumas de cuadrados individuales.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el caso de correlation between height and shoe size, Correlation (PMCC) se utiliza para calcular Correlation from Covariance Sum, Var Sum X, and Var Sum Y. El resultado importa porque ayuda a evaluar la incertidumbre, la dispersión o la evidencia antes de sacar una conclusión de los datos.

Study smarter

Tips

Siempre visualice los datos con un diagrama de dispersión primero para confirmar la existencia de una tendencia lineal.
Tenga cuidado con los valores atípicos, ya que pueden inflar o desinflar significativamente el valor de r.
Recuerde que una correlación de cero implica que no existe una relación lineal, pero aún puede existir una relación no lineal.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir correlación con causalidad.
r > 1 (error de cálculo).

Common questions

Frequently Asked Questions

El PMCC r de Pearson mide la fuerza y dirección de la asociación lineal entre dos variables, variando de -1 a 1.

Aplique esta fórmula al analizar datos cuantitativos emparejados para ver si un cambio en una variable corresponde a un cambio proporcional en otra. Está específicamente diseñada para asociaciones lineales y asume que los datos son muestreados de una distribución normal bivariada.

Este coeficiente es una piedra angular del modelado predictivo, permitiendo a los científicos identificar patrones en datos climáticos, a los economistas cubrir riesgos en mercados financieros y a los sociólogos encontrar vínculos entre factores demográficos. Proporciona una base matemática objetiva para concluir si dos fenómenos están estadísticamente vinculados o son independientes.

Confundir correlación con causalidad. r > 1 (error de cálculo).

En el caso de correlation between height and shoe size, Correlation (PMCC) se utiliza para calcular Correlation from Covariance Sum, Var Sum X, and Var Sum Y. El resultado importa porque ayuda a evaluar la incertidumbre, la dispersión o la evidencia antes de sacar una conclusión de los datos.

Siempre visualice los datos con un diagrama de dispersión primero para confirmar la existencia de una tendencia lineal. Tenga cuidado con los valores atípicos, ya que pueden inflar o desinflar significativamente el valor de r. Recuerde que una correlación de cero implica que no existe una relación lineal, pero aún puede existir una relación no lineal.

References

Sources

Wikipedia: Pearson product-moment correlation coefficient
Probability and Statistics for Engineers and Scientists by Walpole, Myers, Myers, Ye (9th Edition)
Moore, David S., and George P. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics.
Introduction to the Practice of Statistics by David S. Moore, George P. McCabe, Bruce A. Craig
Statistical Methods for the Social Sciences by Alan Agresti
Wikipedia article "Pearson correlation coefficient
AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)