Función de Densidad de Probabilidad (FDP) de la Distribución Normal

Core idea

Overview

Esta fórmula representa la clásica curva gaussiana en forma de campana, donde el pico se define por la media (μ) y la dispersión o anchura está controlada por la varianza (σ²). Es la piedra angular de la estadística inferencial, ya que el Central Limit Theorem (Teorema del Límite Central) dicta que las sumas de muchas variables aleatorias independientes tienden hacia esta distribución. La integral de esta función sobre cualquier intervalo representa la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de ese rango.

When to use: Utilice esto para modelar fenómenos físicos, biológicos o sociales donde los puntos de datos se agrupan alrededor de un promedio central con desviaciones simétricas.

Why it matters: Permite el cálculo de probabilidades, la prueba de hipótesis y la estimación de parámetros en casi todos los campos científicos y de ingeniería.

Symbols

Variables

x = Random Variable, $μ$ = Mean, $σ^{2}$ = Variance

x

Random Variable

Variable

μ

Mean

Variable

σ^{2}

Variance

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivacion de Función de Densidad de Probabilidad (FDP) de la Distribución Normal

La distribución normal se deriva del requisito de que el estimador de máxima verosimilitud para una media de observaciones independientes sea la media aritmética, lo que lleva a la ecuación funcional de Gauss.

La función de densidad de probabilidad f(x) depende solo de la distancia desde la media.
La probabilidad conjunta de observaciones independientes es el producto de sus probabilidades individuales.
La función debe estar normalizada de tal manera que el área total bajo la curva sea igual a 1.

1

Formulación de la ecuación funcional

Suponiendo que el valor más probable para la media es la media aritmética, el producto de las densidades debe ser una función de la suma de los cuadrados de las observaciones.

f (x_{1}) f (x_{2}) ... f (x_{n}) = ϕ (\sum x_{i}^{2})

Note: Esto se conoce a menudo como la derivación de Gauss basada en el postulado de la media aritmética.

2

Resolución mediante diferenciación logarítmica

Al tomar el logaritmo natural de ambos lados, el producto se transforma en una suma, lo que implica que la derivada debe ser lineal, lo que lleva a la forma f(x) = Ce^{ax^2}.

ln (f (x_{1})) + ln (f (x_{2})) + ... + ln (f (x_{n})) = ln (ϕ (\sum x_{i}^{2}))

Note: Identificamos 'a' como negativo para asegurar que la función decaiga a medida que |x| aumenta.

3

Determinación de constantes

Usamos la identidad de la integral gaussiana para encontrar la constante de normalización C, asegurando que la probabilidad total se integre a 1.

\int_{- \infty}^{\infty} C e^{- k (x - μ)^{2}} d x = 1

Note: Recuerde que la integral de $e^{- x^{2}}$ es la raíz cuadrada de pi.

4

Normalización final

Sustituir la varianza sigma al cuadrado por el parámetro de dispersión da la forma estándar de la PDF normal.

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Note: Esta forma final satisface la propiedad de que la distribución está centrada en mu con varianza sigma al cuadrado.

Result

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Source: Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $x$

Despejar x

x = μ \pm - 2 σ^{2} ln (f (x ∣ μ, σ^{2}) 2 π σ^{2})

Aísla la variable x tomando el logaritmo natural y realizando operaciones algebraicas.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ$

Despejar $μ$

μ = x \mp - 2 σ^{2} ln (f 2 π σ^{2})

Reordena la ecuación para despejar mu.

Difficulty: 3/5

Solve for $σ^{2}$

Despejar $σ^{2}$

σ^{2} = - \frac{( x - μ ) ^{2}}{W ( - 2 π f ^{2} ( x - μ ) ^{2} )}

Resuelva la varianza utilizando la función Lambert W o métodos iterativos, ya que $σ^{2}$ aparece tanto en la base como en el exponente.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagine una cadena montañosa física creada al dejar caer arena sobre una superficie plana. El pico (la media) es donde se acumula la mayor parte de la arena, y la altura disminuye exponencialmente a medida que se aleja del centro. La curva es una forma 'ponderada por la gravedad' donde la inclinación de las pendientes está controlada por la dispersión de la arena; una pila ancha (gran varianza) es suave, mientras que un pico alto y delgado (pequeña varianza) es empinado.

Term

Función de densidad de probabilidad

La 'altura' de la curva en cualquier punto x, que representa la probabilidad relativa de encontrar un valor específico dada la media y la dispersión.

Term

Media (valor esperado)

El punto de anclaje central o la ubicación horizontal del pico de la curva de campana.

Term

Varianza

El factor de 'ancho'; dicta qué tan ampliamente se dispersan los datos desde el centro.

Term

Número de Euler

Actúa como base para el decaimiento, asegurando que la probabilidad disminuya de forma suave y predecible a medida que nos alejamos de la media.

Signs and relationships

-(x - μ)²: El signo negativo asegura que el exponente sea siempre negativo o cero, creando un pico en la media (donde x=μ) y haciendo que la función decaiga hacia cero a medida que x se aleja de la media.
1 / sqrt(2πσ²): Esta es la 'constante de normalización'. Asegura que el área total bajo toda la curva sea exactamente 1, lo que representa el 100% de la probabilidad total.

One free problem

Practice Problem

Para una distribución normal con una media (μ) de 0 y una varianza (σ²) de 1, calcule la densidad f(x) en x = 0.

Hint: Recuerde que $e^{0}$ = 1 y la expresión se simplifica a 1/sqrt(2π).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Las alturas de los hombres adultos en una población específica, que se agrupan alrededor de una altura promedio con una desviación estándar predecible.

Study smarter

Tips

Recuerde que el área total bajo la curva es siempre exactamente 1.
Utilice la distribución normal estándar (puntuación Z) estableciendo μ=0 y σ=1 para simplificar cálculos complejos.
Tenga en cuenta que aproximadamente el 68%, 95% y 99.7% de los datos caen dentro de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media, respectivamente.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir la desviación estándar (σ) con la varianza (σ²).
Asumir que el valor de la FDP es una probabilidad en sí mismo, en lugar de una densidad (la probabilidad de un punto exacto es 0).

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La distribución normal se deriva del requisito de que el estimador de máxima verosimilitud para una media de observaciones independientes sea la media aritmética, lo que lleva a la ecuación funcional de Gauss.

Utilice esto para modelar fenómenos físicos, biológicos o sociales donde los puntos de datos se agrupan alrededor de un promedio central con desviaciones simétricas.

Permite el cálculo de probabilidades, la prueba de hipótesis y la estimación de parámetros en casi todos los campos científicos y de ingeniería.

Confundir la desviación estándar (σ) con la varianza (σ²). Asumir que el valor de la FDP es una probabilidad en sí mismo, en lugar de una densidad (la probabilidad de un punto exacto es 0).

Las alturas de los hombres adultos en una población específica, que se agrupan alrededor de una altura promedio con una desviación estándar predecible.

Recuerde que el área total bajo la curva es siempre exactamente 1. Utilice la distribución normal estándar (puntuación Z) estableciendo μ=0 y σ=1 para simplificar cálculos complejos. Tenga en cuenta que aproximadamente el 68%, 95% y 99.7% de los datos caen dentro de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media, respectivamente.

References

Sources

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability.
Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Overview

Variables

Derivation

Formulación de la ecuación funcional

Resolución mediante diferenciación logarítmica

Determinación de constantes

Normalización final

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Standard Normal Distribution

Frequently Asked Questions

Sources