Regla del Producto

Core idea

Overview

La Regla del Producto es una fórmula de diferenciación fundamental utilizada para encontrar la derivada de una función que es el producto de dos o más funciones diferenciables. Establece que la derivada de un producto no es simplemente el producto de las derivadas individuales, sino una combinación específica de las funciones originales y sus respectivas tasas de cambio.

When to use: Aplica esta regla cuando encuentres una función compuesta por dos sub-funciones multiplicadas entre sí, como productos algebraicos, trigonométricos o exponenciales. Es necesaria cuando ambos factores del producto son funciones no constantes de la misma variable independiente.

Why it matters: Esta regla es esencial para calcular tasas de cambio en sistemas con variables interactuantes, como calcular la potencia en un circuito eléctrico (voltaje por corriente) o el crecimiento de los ingresos económicos (precio por cantidad). Sirve como base para el método de integración por partes en cálculo integral.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivación de la regla del producto

La regla del producto diferencia el producto de dos funciones u(x) y v(x). Se deriva desde los primeros principios sumando y restando un término conveniente.

u(x) y v(x) son diferenciables.
Los límites relevantes existen.

1

Comenzar con los primeros principios:

Aplique la definición de derivada a $f (x) = u (x) v (x)$ .

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

Sumar y restar u(x+h)v(x):

Esto cambia la forma de la expresión sin cambiar su valor.

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

Agrupar y factorizar:

Divida en dos cocientes de diferencia y factorice los términos comunes.

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

Tomar el límite:

Como $h \to 0$ , $u (x + h) \to u (x)$ y los cocientes se convierten en derivadas.

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

Despejar u

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

Aísle $u$ restando el término $v \frac{d u}{d x}$ y dividiendo por $\frac{d v}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

Despejar v

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

Aísle $v$ restando el término $u \frac{d v}{d x}$ y dividiendo por $\frac{d u}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

Despejar du/dx

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

Aísle $\frac{d u}{d x}$ restando el término $u \frac{d v}{d x}$ y dividiendo por $v$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

Despejar dv/dx

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

Aísle $\frac{d v}{d x}$ restando el término $v \frac{d u}{d x}$ y dividiendo por $u$ .

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagina un rectángulo cuyas longitudes de lado son funciones de una variable independiente; la tasa de cambio de su área es la suma de la tasa a la que cambia su ancho (escalada por su altura actual).

Term

La tasa instantánea de cambio del producto de dos funciones, u y v, con respecto a la variable independiente x.

Qué tan rápido aumenta o disminuye la cantidad total representada por el producto u*v a medida que cambia x.

Term

El valor de la primera función en un punto específico x.

El 'tamaño' o 'contribución' actual del primer factor al producto.

Term

El valor de la segunda función en un punto específico x.

El 'tamaño' o 'contribución' actual del segundo factor al producto.

Term

La tasa instantánea de cambio de la primera función u con respecto a x.

Qué tan rápido cambia el primer factor u a medida que cambia x, independientemente de v.

Term

La tasa instantánea de cambio de la segunda función v con respecto a x.

Qué tan rápido está cambiando el segundo factor v a medida que cambia x, independientemente de u.

Signs and relationships

+: The total rate of change of the product is the sum of two distinct contributions: the rate of change of v scaled by u, and the rate of change of u scaled by v.

Free study cues

Insight

Canonical usage

La regla del producto garantiza la consistencia dimensional al derivar una función que es el producto de otras dos funciones, donde las unidades de la derivada son las unidades del producto de las funciones divididas por la unidad de la variable independiente.

One free problem

Practice Problem

Una función se define como el producto de dos sub-funciones u y v. Si u = 5 y v = 10, con sus respectivas derivadas siendo du = 2 y dv = 4, calcula la derivada total dy.

Hint: Sustituye los valores en la fórmula: dy = (u × dv) + (v × du).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el caso de dampened harmonic motion (e^-x * sinx), Product Rule se utiliza para calcular Gradient from Function u, Derivative v', and Function v. El resultado importa porque ayuda a conectar el cálculo con la forma, la tasa, la probabilidad o la restricción en el modelo.

Study smarter

Tips

Etiqueta explícitamente u y v antes de diferenciar.
Calcula du y dv por separado para evitar errores algebraicos.
Recuerda que el orden de los dos términos sumados no importa.
Usa paréntesis al sustituir expresiones para mantener los signos correctos.

Avoid these traps

Common Mistakes

Simplemente multiplicar derivadas (u'v').
Errores de signo.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La regla del producto diferencia el producto de dos funciones u(x) y v(x). Se deriva desde los primeros principios sumando y restando un término conveniente.

Aplica esta regla cuando encuentres una función compuesta por dos sub-funciones multiplicadas entre sí, como productos algebraicos, trigonométricos o exponenciales. Es necesaria cuando ambos factores del producto son funciones no constantes de la misma variable independiente.

Esta regla es esencial para calcular tasas de cambio en sistemas con variables interactuantes, como calcular la potencia en un circuito eléctrico (voltaje por corriente) o el crecimiento de los ingresos económicos (precio por cantidad). Sirve como base para el método de integración por partes en cálculo integral.

Simplemente multiplicar derivadas (u'v'). Errores de signo.

En el caso de dampened harmonic motion (e^-x * sinx), Product Rule se utiliza para calcular Gradient from Function u, Derivative v', and Function v. El resultado importa porque ayuda a conectar el cálculo con la forma, la tasa, la probabilidad o la restricción en el modelo.

Etiqueta explícitamente u y v antes de diferenciar. Calcula du y dv por separado para evitar errores algebraicos. Recuerda que el orden de los dos términos sumados no importa. Usa paréntesis al sustituir expresiones para mantener los signos correctos.

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Comenzar con los primeros principios:

Sumar y restar u(x+h)v(x):

Agrupar y factorizar:

Tomar el límite:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources