Théorème de la divergence Calculator
Relie le flux sortant d'un champ vectoriel à travers une surface fermée à sa divergence volumique.
Formula first
Overview
Le théorème de la divergence, aussi appelé théorème de Gauss, établit l'égalité entre le flux net sortant d'un champ vectoriel à travers une surface fermée et l'intégrale volumique de la divergence du champ à l'intérieur de cette surface. Il transforme un calcul sur le bord en un calcul d'accumulation à l'intérieur, agissant comme une extension tridimensionnelle du théorème fondamental du calcul.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: Appliquez ce théorème lorsque vous calculez le flux total à travers une frontière fermée, régulière par morceaux, et que l'intégrale volumique de la divergence est plus facile à calculer que l'intégrale de surface. Il est spécifiquement valable pour des champs vectoriels dont les dérivées partielles du premier ordre sont continues à l'intérieur de la région.
Why it matters: Il est essentiel pour dériver des lois physiques de conservation, comme la loi de Gauss en électromagnétisme et l'équation de continuité en mécanique des fluides. En reliant le comportement local (divergence) au comportement global (flux), il permet aux scientifiques de prévoir comment des substances ou des forces traversent une frontière à partir de sources internes.
Avoid these traps
Common Mistakes
- L'utiliser pour des surfaces ouvertes.
- Sens du flux (normale sortante).
One free problem
Practice Problem
Calculez le flux total sortant du champ vectoriel F = (2x, 2y, 2z) à travers la surface d'un cube de côté 3 unités, centré à l'origine.
Hint: Calculez la divergence du champ puis multipliez-la par le volume du cube.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Divergence theorem
- Introduction to Electrodynamics by David J. Griffiths
- Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
- Mathematical Methods for Physicists, 7th Edition by George B. Arfken, Hans J. Weber, and Frank E. Harris
- Stewart Calculus: Early Transcendentals
- Standard curriculum — Vector Calculus