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Théorème de Green

Relie une intégrale curviligne autour d'une courbe fermée à une intégrale double sur la région qu'elle enferme.

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\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

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Core idea

Overview

Le théorème de Green établit un lien fondamental entre l'intégrale curviligne autour d'une courbe fermée simple et l'intégrale double sur la région plane qu'elle enferme. Il s'agit essentiellement d'une version bidimensionnelle du théorème de Stokes et il est utilisé pour relier la rotation locale ou la circulation dans un champ vectoriel au rotationnel net sur une aire.

When to use: Appliquez ce théorème lorsque vous évaluez une intégrale curviligne sur une courbe fermée, simple et par morceaux régulière dans le plan xy, et que l'intégrale de surface du rotationnel est plus facile à calculer. Il exige que les fonctions composantes L et M aient des dérivées partielles du premier ordre continues sur toute la région délimitée par la courbe.

Why it matters: Il est essentiel pour calculer le travail et la circulation en physique et en mécanique des fluides sans avoir à paramétrer individuellement des trajectoires de bord complexes. Il fournit aussi une base mathématique pour utiliser des intégrales curvilignes afin de calculer l'aire de formes irrégulières, ce qui correspond au principe de fonctionnement du planimètre.

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

Preuve du théorème de Green pour une région simple

Nous prouvons le théorème de Green pour une région simple de type I et de type II en évaluant l'intégrale de ligne sur la frontière et en montrant qu'elle est égale à l'intégrale double des dérivées partielles.

C est une courbe fermée simple, orientée positivement et lisse par morceaux.
P(x,y) et Q(x,y) ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte contenant D.

1. Décomposer l'intégrale

Nous pouvons prouver le théorème en deux parties indépendantes : en montrant que $\oint L d x = - \iint \frac{\partial L}{\partial y} d A$ et $\oint M d y = \iint \frac{\partial M}{\partial x} d A$ .

\oint_{C} (L d x + M d y) = \oint_{C} L d x + \oint_{C} M d y

2. Établir l'intégrale d'aire pour L

Supposons que la région $D$ soit limitée par $y = g_{1} (x)$ en bas et $y = g_{2} (x)$ en haut, entre $x = a$ et $x = b$ .

\iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial L}{\partial y} d y d x

3. Appliquer le théorème fondamental du calcul

L'intégration de la dérivée partielle $\frac{\partial L}{\partial y}$ par rapport à $y$ donne simplement la fonction $L$ évaluée aux frontières supérieure et inférieure.

\int_{a}^{b} [L (x, g_{2} (x)) - L (x, g_{1} (x))] d x

4. Relier à l'intégrale de ligne

L'intégrale de ligne le long du chemin inférieur $g_{1}$ va de $a$ à $b$ , tandis que le chemin supérieur $g_{2}$ va à l'envers de $b$ à $a$ (pour maintenir l'orientation antihoraire). Inverser les limites de l'intégrale supérieure change son signe.

- \oint_{C} L (x, y) d x = - (\int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x + \int_{b}^{a} L (x, g_{2} (x)) d x)

5. Conclusion

La combinaison des deux résultats dérivés par une logique identique appliquée aux axes $x$ et $y$ donne l'énoncé final du théorème de Green.

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Result

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\oint P d x + Q d y$

Isoler oint P dx + Q dy

\oint P d x + Q d y = \iint (Q_{x} - P_{y}) d A

Ce réarrangement démontre les variations de notation courantes du théorème de Green, transformant la forme initiale utilisant $L$ et $M$ en une forme plus compacte utilisant $P$ , $Q$ et la notation en indice pour les dérivées partielles.

Difficulty: 2/5

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Why it behaves this way

Intuition

Imaginez une région du plan remplie d'un fluide en mouvement ; le théorème de Green stipule que la rotation nette totale du fluide à l'intérieur de toute la région est exactement égale au flux net du fluide le long de sa frontière extérieure.

Term

La circulation totale du champ vectoriel 2D F = <L, M> autour de la courbe fermée simple C.

Mesure la 'poussée' nette ou le 'flux' net du champ vectoriel le long de la frontière C. Imaginez une petite roue à aubes sur la courbe ; ce terme quantifie sa rotation nette lorsqu'elle parcourt toute la frontière.

Term

La composante z du rotationnel 2D du champ vectoriel F = <L, M>, représentant la densité de circulation infinitésimale en un point.

Quantifie la 'rotation locale' ou le 'tourbillon' du champ vectoriel en un point infinitésimal à l'intérieur de la région. Une valeur positive indique généralement une rotation dans le sens antihoraire.

Term

La somme totale de toutes les circulations infinitésimales (rotationnel) sur toute la région D délimitée par C.

Agrège tous les petits 'tourbillons' ou 'rotations' se produisant en chaque point à l'intérieur de la région D pour obtenir une mesure totale de la rotation interne.

Signs and relationships

(∂ M / ∂ x - ∂ L / ∂ y): Cette différence spécifique définit le rotationnel scalaire (ou composante z du rotationnel 2D) du champ vectoriel F = <L, M>. L'ordre de la soustraction est crucial et correspond à l'orientation antihoraire de la circulation.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Utilisée pour relier une intégrale curviligne le long d'une courbe fermée à une intégrale double sur la région délimitée, où les deux membres de l'équation doivent maintenir des dimensions physiques cohérentes déterminées par la nature du champ vectoriel.

One free problem

Practice Problem

Évaluez l'intégrale curviligne ∮_C (y² dx + x² dy) où C est le bord du rectangle défini par 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤ 3, orienté dans le sens trigonométrique.

Hint: Transformez l'intégrale curviligne en une intégrale double de l'expression (∂M/∂x − ∂L/∂y) sur la région rectangulaire.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Calculer le travail effectué par un champ de force, Théorème de Green sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier le calcul à la forme, au taux de variation, à la probabilité ou à la contrainte du modèle.

Study smarter

Tips

Assurez-vous que la courbe est fermée et orientée dans le sens trigonométrique pour obtenir un résultat positif.
Vérifiez que les fonctions du champ vectoriel sont continues sur toute la région enfermée.
Utilisez l'identité selon laquelle l'aire est égale à l'intégrale curviligne de x dy ou -y dx pour simplifier les problèmes d'aire.
Vérifiez que la région est simplement connexe avant d'appliquer la forme standard du théorème.

Avoid these traps

Common Mistakes

L'utiliser pour des courbes ouvertes.
Mauvais signe (orientation horaire).

Common questions

Frequently Asked Questions

Appliquez ce théorème lorsque vous évaluez une intégrale curviligne sur une courbe fermée, simple et par morceaux régulière dans le plan xy, et que l'intégrale de surface du rotationnel est plus facile à calculer. Il exige que les fonctions composantes L et M aient des dérivées partielles du premier ordre continues sur toute la région délimitée par la courbe.

Il est essentiel pour calculer le travail et la circulation en physique et en mécanique des fluides sans avoir à paramétrer individuellement des trajectoires de bord complexes. Il fournit aussi une base mathématique pour utiliser des intégrales curvilignes afin de calculer l'aire de formes irrégulières, ce qui correspond au principe de fonctionnement du planimètre.

L'utiliser pour des courbes ouvertes. Mauvais signe (orientation horaire).

Assurez-vous que la courbe est fermée et orientée dans le sens trigonométrique pour obtenir un résultat positif. Vérifiez que les fonctions du champ vectoriel sont continues sur toute la région enfermée. Utilisez l'identité selon laquelle l'aire est égale à l'intégrale curviligne de x dy ou -y dx pour simplifier les problèmes d'aire. Vérifiez que la région est simplement connexe avant d'appliquer la forme standard du théorème.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Green's theorem
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
Britannica, Green's theorem
Wikipedia, Green's theorem

Théorème de Green

Overview

Variables

Derivation

1. Décomposer l'intégrale

2. Établir l'intégrale d'aire pour L

3. Appliquer le théorème fondamental du calcul

4. Relier à l'intégrale de ligne

5. Conclusion

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Divergence Theorem

Curl (concept)

Frequently Asked Questions

Sources