Équation de Bernoulli
L'équation de Bernoulli relie la pression, la vitesse d'écoulement et l'altitude pour un écoulement fluide idéal, incompressible et permanent le long d'une ligne de courant.
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Core idea
Overview
Dérivée du principe de conservation de l'énergie, l'équation affirme que la somme de la pression statique, de la pression dynamique et de la pression hydrostatique reste constante le long d'une ligne de courant. Elle est fondamentale en mécanique des fluides pour déterminer comment les caractéristiques de l'écoulement changent lorsque la géométrie d'une conduite ou l'altitude varie. Cette idéalisation suppose l'absence de pertes par frottement et une densité de fluide constante.
When to use: Appliquez-la lorsque vous analysez un écoulement permanent, incompressible et sans frottement (non visqueux) le long d'une ligne de courant, lorsque les propriétés du fluide ne changent pas avec le temps.
Why it matters: Elle est essentielle pour concevoir des systèmes de tuyauterie, des ailes d'avion et des dispositifs hydrauliques, en permettant aux ingénieurs de calculer les variations de vitesse à partir des différences de pression.
Symbols
Variables
P = Pressure, = Fluid Density, g = Gravity, h = Height
Free formulas
Rearrangements
Solve for
Isoler P
Isolez le terme de pression en soustrayant les termes de densité d'énergie cinétique et potentielle de la constante.
Difficulty: 1/5
Solve for
Isoler v
Isolez le terme de vitesse en déplaçant les autres composants, en multipliant par 2, en divisant par la densité et en prenant la racine carrée.
Difficulty: 3/5
Solve for
Isoler g
Isolez le terme de gravité en soustrayant P et l'énergie cinétique, puis en divisant par la densité et la hauteur.
Difficulty: 2/5
Solve for
Isoler h
Isolez le terme de hauteur en déplaçant les autres composants et en divisant par la densité et la gravité.
Difficulty: 2/5
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Why it behaves this way
Intuition
Imaginez une particule de fluide comme un voyageur soucieux de son budget se déplaçant dans un tuyau. Le « budget énergétique » total est fixe; la particule peut dépenser sa richesse en pression statique (densité de la foule), en énergie cinétique (vitesse) ou en énergie potentielle (altitude). Si le tuyau rétrécit (la vitesse augmente) ou monte (l'altitude augmente), la particule doit « dépenser » sa pression statique pour payer le changement, illustrant un compromis strict.
Signs and relationships
- +: Les signes d'addition représentent la nature additive de l'énergie dans un système fermé; puisque l'énergie est conservée dans un fluide idéal (non visqueux), la somme de ces différentes formes d'énergie doit rester invariante le long d'une ligne de courant.
One free problem
Practice Problem
Une conduite horizontale de section 0.02 m² se rétrécit à 0.01 m². Si l'eau s'écoule à 2 m/s dans la section la plus large avec une pression de 200 kPa, quelle est la pression dans la section étroite (densité = 1000 kg/m³) ?
Hint: Utilisez l'équation de continuité A1v1 = A2v2 pour trouver la vitesse dans la seconde section, puis appliquez Bernoulli.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
Sur une aile d'avion, la vitesse de l'air augmente sur la surface supérieure incurvée par rapport à la surface inférieure, provoquant une baisse de pression qui crée la portance selon le principe de Bernoulli.
Study smarter
Tips
- Définissez toujours un niveau de référence (h=0) avant d'établir l'équation.
- Assurez-vous que le fluide peut être considéré comme incompressible ; si le nombre de Mach > 0.3, utilisez plutôt les équations d'écoulement compressible.
- Rappelez-vous que l'équation ne s'applique strictement qu'au long d'une seule ligne de courant.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Négliger le terme de pression hydrostatique (rho*g*h) lorsqu'il existe une variation d'altitude significative.
- Essayer d'appliquer l'équation à des systèmes présentant des pertes visqueuses importantes (par exemple de longues conduites avec frottement) sans utiliser l'extension par l'équation de l'énergie.
- Confondre la pression statique avec la pression de stagnation.
Common questions
Frequently Asked Questions
Appliquez-la lorsque vous analysez un écoulement permanent, incompressible et sans frottement (non visqueux) le long d'une ligne de courant, lorsque les propriétés du fluide ne changent pas avec le temps.
Elle est essentielle pour concevoir des systèmes de tuyauterie, des ailes d'avion et des dispositifs hydrauliques, en permettant aux ingénieurs de calculer les variations de vitesse à partir des différences de pression.
Négliger le terme de pression hydrostatique (rho*g*h) lorsqu'il existe une variation d'altitude significative. Essayer d'appliquer l'équation à des systèmes présentant des pertes visqueuses importantes (par exemple de longues conduites avec frottement) sans utiliser l'extension par l'équation de l'énergie. Confondre la pression statique avec la pression de stagnation.
Sur une aile d'avion, la vitesse de l'air augmente sur la surface supérieure incurvée par rapport à la surface inférieure, provoquant une baisse de pression qui crée la portance selon le principe de Bernoulli.
Définissez toujours un niveau de référence (h=0) avant d'établir l'équation. Assurez-vous que le fluide peut être considéré comme incompressible ; si le nombre de Mach > 0.3, utilisez plutôt les équations d'écoulement compressible. Rappelez-vous que l'équation ne s'applique strictement qu'au long d'une seule ligne de courant.
References
Sources
- White, F. M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill Education.
- Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.