Fonction de demande compensée (hicksienne)

Core idea

Overview

La fonction de demande compensée (hicksienne), dérivée du lemme de Shephard, décrit la quantité d’un bien qu’un consommateur demanderait pour atteindre un niveau d’utilité spécifique, en supposant que son revenu est 'compensé' pour les variations de prix. Contrairement à la demande marshallienne, la demande hicksienne isole l’effet de substitution en maintenant l’utilité constante, ce qui en fait un concept crucial en économie du bien-être pour analyser le véritable coût de la vie et l’impact des variations de prix sur le bien-être du consommateur, indépendamment des effets de revenu.

When to use: Cette formule est utilisée en microéconomie pour dériver la fonction de demande hicksienne d’un bien lorsque la fonction de dépense est connue. Elle est essentielle pour analyser le comportement du consommateur en supposant l’utilité constante, en particulier pour séparer les effets de substitution des effets de revenu dus aux variations de prix, ou pour l’analyse du bien-être.

Why it matters: Comprendre la demande hicksienne est fondamental pour la théorie avancée du consommateur et l’économie du bien-être. Elle permet aux économistes de mesurer précisément l’impact des variations de prix sur le bien-être (par exemple à l’aide de la variation compensatoire ou équivalente) et de construire de véritables indices du coût de la vie, fournissant une image plus précise du bien-être du consommateur que la demande marshallienne standard.

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

Formule : Fonction de demande compensée (hicksienne) (Lemme de Shephard)

La demande hicksienne pour un bien est trouvée en prenant la dérivée partielle de la fonction de dépense par rapport au prix de ce bien.

Les préférences des consommateurs sont rationnelles, complètes et transitives.
La fonction de dépense $e (p, u)$ est dérivable par rapport aux prix.
Le consommateur minimise ses dépenses pour atteindre un niveau d'utilité $u$ donné.

1

Définir la fonction de dépense :

La fonction de dépense $e (p, u)$ représente la dépense minimale requise pour atteindre un niveau d'utilité $u$ étant donné un vecteur de prix $p$ pour les biens $x$ . Il s'agit d'un problème d'optimisation sous contrainte.

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

Appliquer le théorème de l'enveloppe (Lemme de Shephard) :

Selon le lemme de Shephard, qui est une application directe du théorème de l'enveloppe, la dérivée partielle de la fonction de dépense par rapport au prix du bien $i$ ( $p_{i}$ ) donne la fonction de demande hicksienne (compensée) pour le bien $i$ , $h_{i} (p, u)$ . Cela signifie que la quantité de bien $i$ demandée pour maintenir un niveau d'utilité constant $u$ est précisément le taux auquel la dépense minimale change par rapport à $p_{i}$ .

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

Demande hicksienne : Isoler $p$

No direct algebraic rearrangement for p

Faire de $p$ (vecteur de prix) le sujet de la fonction de demande hicksienne n'est généralement pas possible par un simple réarrangement algébrique, car il est intégré dans une dérivée partielle et la fonction de dépense.

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

Demande hicksienne : Isoler $u$

No direct algebraic rearrangement for u

Faire de $u$ (niveau d'utilité) le sujet de la fonction de demande hicksienne n'est généralement pas possible par un simple réarrangement algébrique, car il s'agit d'une entrée dans la fonction de dépense et la dérivée.

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

Demande hicksienne : Isoler $e$

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

Faire de $e (p, u)$ (fonction de dépense) le sujet nécessite d'intégrer la fonction de demande hicksienne, qui est l'opération inverse de différenciation, et non un simple réarrangement algébrique.

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

Demande hicksienne : Isoler $p_{i}$

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

Faire de $p_{i}$ (prix du bien i) le sujet de la fonction de demande hicksienne n'est généralement pas possible par un simple réarrangement algébrique, car il s'agit de la variable de différenciation et d'une entrée dans la fonction de dépense.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imaginez un consommateur essayant de rester sur une ligne de contour de satisfaction spécifique (courbe d'indifférence) sur une carte de choix de consommation. La demande hicksienne pour un bien montre quelle quantité de ce bien il choisirait à différents prix, si son revenu changeait pour le maintenir exactement sur cette même courbe.

Term

La demande hicksienne (compensée) pour le bien i, représentant la quantité du bien i qu'un consommateur achèterait pour atteindre un niveau d'utilité spécifique u, étant donné un vecteur de prix p.

La quantité de bien i que vous achèteriez si votre revenu était parfaitement ajusté pour maintenir votre bonheur (utilité) exactement identique, quels que soient les changements de prix. Elle isole l'« effet de substitution » pur d'un changement de prix.

Term

La fonction de dépense, qui est la dépense totale minimale (coût) requise pour qu'un consommateur atteigne un niveau d'utilité spécifique u lorsqu'il fait face à un vecteur de prix p donné pour tous les biens.

Le plus petit montant d'argent que vous devez dépenser pour atteindre un niveau fixe de satisfaction ou de bien-être, compte tenu de tous les prix actuels.

Term

Le prix du marché par unité de bien i.

Le coût d'achat d'une unité de bien i sur le marché.

Term

Un niveau d'utilité spécifique et fixe (satisfaction ou bien-être) que le consommateur est supposé maintenir.

Une « cible de bonheur » constante que le consommateur vise à atteindre, indépendamment des variations de prix.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Cette équation est utilisée pour assurer la cohérence dimensionnelle, où la demande hicksienne d'un bien, représentant une quantité, est dérivée de la dérivée partielle de la fonction de dépense (unités monétaires)

One free problem

Practice Problem

Étant donnée une fonction de dépense $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ , où $p_{1}$ et $p_{2}$ sont les prix de deux biens et $u$ le niveau d’utilité. Dérivez la fonction de demande hicksienne pour le bien 1, $h_{1} (p, u)$ .

Hint: Appliquez la règle de dérivée partielle : $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ et la règle de chaîne si nécessaire.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Calculer la demande compensée de carburant afin de maintenir un certain niveau d’utilité malgré les fluctuations des prix du carburant, Fonction de demande compensée (hicksienne) sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à comparer les incitations, les effets de politique, les résultats de marché ou les décisions financières.

Study smarter

Tips

Rappelez-vous que la demande hicksienne maintient l’utilité ( $u$ ) constante, et non le revenu.
La fonction de dépense $e (p, u)$ donne le coût minimal pour atteindre l’utilité $u$ aux prix $p$ .
La dérivée partielle $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ signifie dériver $e$ par rapport à $p_{i}$ , en traitant tous les autres prix et $u$ comme constants.
Cette relation est connue sous le nom de lemme de Shephard.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confondre la demande hicksienne avec la demande marshallienne (qui maintient le revenu constant).
Effectuer incorrectement la dérivation partielle, surtout avec plusieurs variables de prix.
Oublier que $p$ est un vecteur de *tous* les prix, et pas seulement de $p_{i}$ .

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La demande hicksienne pour un bien est trouvée en prenant la dérivée partielle de la fonction de dépense par rapport au prix de ce bien.

Cette formule est utilisée en microéconomie pour dériver la fonction de demande hicksienne d’un bien lorsque la fonction de dépense est connue. Elle est essentielle pour analyser le comportement du consommateur en supposant l’utilité constante, en particulier pour séparer les effets de substitution des effets de revenu dus aux variations de prix, ou pour l’analyse du bien-être.

Comprendre la demande hicksienne est fondamental pour la théorie avancée du consommateur et l’économie du bien-être. Elle permet aux économistes de mesurer précisément l’impact des variations de prix sur le bien-être (par exemple à l’aide de la variation compensatoire ou équivalente) et de construire de véritables indices du coût de la vie, fournissant une image plus précise du bien-être du consommateur que la demande marshallienne standard.

Confondre la demande hicksienne avec la demande marshallienne (qui maintient le revenu constant). Effectuer incorrectement la dérivation partielle, surtout avec plusieurs variables de prix. Oublier que $\mathbf{p}$ est un vecteur de *tous* les prix, et pas seulement de $p_i$.

Dans le contexte de Calculer la demande compensée de carburant afin de maintenir un certain niveau d’utilité malgré les fluctuations des prix du carburant, Fonction de demande compensée (hicksienne) sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à comparer les incitations, les effets de politique, les résultats de marché ou les décisions financières.

Rappelez-vous que la demande hicksienne maintient l’utilité ($u$) constante, et non le revenu. La fonction de dépense $e(\mathbf{p}, u)$ donne le coût minimal pour atteindre l’utilité $u$ aux prix $\mathbf{p}$. La dérivée partielle $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ signifie dériver $e$ par rapport à $p_i$, en traitant tous les autres prix et $u$ comme constants. Cette relation est connue sous le nom de lemme de Shephard.

References

Sources

Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Wikipedia: Hicksian demand function
Wikipedia: Shephard's lemma
Microeconomic Analysis, 3rd Edition by Hal R. Varian
Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 12th Edition by Walter Nicholson and Christopher Snyder
Nicholson, Walter, and Christopher Snyder. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. Cengage Learning.
Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Overview

Variables

Derivation

Définir la fonction de dépense :

Appliquer le théorème de l'enveloppe (Lemme de Shephard) :

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Marshallian Demand Function

Expenditure Function

Frequently Asked Questions

Sources