Manning's Equation

Core idea

Overview

Manning's Equation est une relation empirique utilisée pour estimer la vitesse moyenne de l'eau s'écoulant dans des canaux ouverts ou des conduites. Elle relie la vitesse d'écoulement aux dimensions physiques du chenal, à sa pente longitudinale et à la résistance par frottement causée par le matériau de revêtement.

When to use: Cette formule s'applique aux écoulements uniformes permanents en canal ouvert, où la surface de l'eau est parallèle au lit du chenal. Elle est couramment utilisée par les hydrologues et les ingénieurs pour modéliser les rivières, les canaux et les ponceaux où l'écoulement est dû à la gravité.

Why it matters: Elle est fondamentale pour la gestion du risque d'inondation et la conception des systèmes de drainage urbain. En prédisant la vitesse d'écoulement, les planificateurs peuvent déterminer si un chenal peut supporter certains volumes de débit ou si la vitesse provoquera une érosion importante des berges.

Symbols

Variables

v = Velocity, R = Hydraulic Radius, S = Channel Slope, n = Manning's n

v

Velocity

m/s

R

Hydraulic Radius

m

S

Channel Slope

Variable

n

Manning's n

Variable

Walkthrough

Derivation

Formule : Équation de Manning (empirique)

Estime la vitesse moyenne d'écoulement dans un canal ouvert, où la gravité entraîne l'écoulement vers le bas de la pente et la friction de la paroi du canal y résiste.

L'écoulement est permanent et uniforme (la profondeur et la vitesse ne changent pas le long du tronçon).
La forme et la rugosité du canal sont approximativement constantes sur le tronçon.
La pente S représente la pente énergétique (souvent approximée par la pente du lit dans les cas simples).

1

Identifier les variables clés :

La vitesse dépend du rayon hydraulique R (aire A divisée par le périmètre mouillé P), de la pente du canal S et de la rugosité de Manning n.

R = \frac{A}{P}, S, n

Note: Un n plus élevé signifie des lits plus rugueux (plus de friction). Le béton lisse a un n faible ; les canaux rocheux ou végétalisés ont un n plus élevé.

2

Énoncer la formule empirique :

La vitesse augmente avec un rayon hydraulique plus grand et une pente plus raide, mais diminue à mesure que la rugosité n augmente.

v = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}

Result

v = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}

Source: Edexcel A-Level Geography — Water Insecurity and Hydrology

Free formulas

Rearrangements

Solve for $R$

Manning's Equation: Isoler R

R = (\frac{v n}{S ^{1/2}})^{3/2}

Réorganisez l'équation de Manning pour faire du rayon hydraulique, R, le sujet. Cela implique d'isoler R en multipliant, en divisant et en élevant les deux côtés à une puissance appropriée.

Difficulty: 2/5

Solve for $S$

Isoler S

S = (\frac{v n}{R ^{2/3}})^{2}

Pour faire de S le sujet de l'équation de Manning, effacez d'abord le dénominateur en multipliant par n, puis isolez $S^{1/2}$ en divisant par $R^{2/3}$ , et enfin mettez les deux côtés au carré.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Le graphique suit une courbe de loi de puissance concave vers le bas qui passe par l'origine, montrant que la vitesse augmente à mesure que le rayon hydraulique augmente. Pour un étudiant en géographie, cela signifie que les rivières avec un rayon hydraulique plus large connaissent des vitesses d'écoulement nettement plus rapides par rapport aux canaux étroits et peu profonds. La caractéristique la plus importante est la diminution du taux de gain de vitesse à mesure que le rayon hydraulique croît, ce qui indique que l'augmentation de la taille du chenal devient progressivement moins efficace pour booster la vitesse d'écoulement.

Graph type: power_law

Why it behaves this way

Intuition

Imaginez de l'eau s'écoulant dans une goulotte inclinée : plus l'inclinaison est forte, plus elle va vite ; plus la goulotte est lisse et large, moins elle rencontre de friction, ce qui lui permet de couler plus rapidement.

Term

Vitesse moyenne d'écoulement de l'eau

Représente la vitesse moyenne à laquelle l'eau se déplace dans le canal. Un 'v' plus élevé signifie un écoulement plus rapide.

Term

Coefficient de rugosité de Manning

Quantifie la résistance à l'écoulement causée par la rugosité de la surface du canal, la végétation et les irrégularités. Un 'n' plus élevé indique un canal plus rugueux, ce qui ralentit l'eau.

Term

Rayon hydraulique

Décrit l'efficacité de la section transversale du canal pour transporter l'eau, calculé comme le rapport de l'aire d'écoulement sur le périmètre mouillé.

Term

Pente de la ligne d'énergie

Représente la force gravitationnelle moteur de l'écoulement. Pour un écoulement uniforme, elle est souvent approximée par la pente du lit du canal. Une pente plus raide ('S') signifie une traction gravitationnelle plus forte, entraînant un écoulement plus rapide.

Signs and relationships

1/n: La relation inverse montre que lorsque la rugosité du canal ('n') augmente, la résistance à l'écoulement s'élève, provoquant une diminution de la vitesse moyenne ('v'). Les canaux plus rugueux entravent l'écoulement plus efficacement.
R^(2/3): L'exposant fractionnaire positif indique que lorsque le rayon hydraulique ('R') augmente, la vitesse moyenne ('v') augmente. Cela traduit le fait que les canaux plus grands et plus efficaces subissent moins de friction de bordure relative.
S^(1/2): L'exposant fractionnaire positif (racine carrée) montre que lorsque la pente du canal ('S') augmente, la vitesse moyenne ('v') augmente. Une pente plus raide fournit une force motrice gravitationnelle plus grande, accélérant l'eau.

Free study cues

Insight

Canonical usage

L'équation de Manning est utilisée dans les systèmes d'unités métriques (SI) et impériaux/coutumiers américains. La constante dimensionnelle (k) diffère selon le système d'unités choisi.

Ballpark figures

Quantity:

One free problem

Practice Problem

Un canal d'irrigation en béton lisse est construit avec un rayon hydraulique de 1 mètre et une pente longitudinale de 0.01 (1%). Si le coefficient de rugosité de Manning pour le béton lisse est de 0.02, quelle est la vitesse moyenne d'écoulement en mètres par seconde ?

Hint: Remplacez les valeurs dans la formule v = (1/n) × R^(2/3) × S^(0.5) et souvenez-vous que 1 élevé à n'importe quelle puissance vaut 1.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Prédire le débit de crue dans le drainage urbain, Manning's Equation sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier les quantités mesurées à la concentration, au rendement, au changement d'énergie, à la vitesse de réaction ou à l'équilibre.

Study smarter

Tips

Calculez le rayon hydraulique (R) en divisant la surface de la section d'écoulement par son périmètre mouillé.
Utilisez toujours des valeurs de n plus élevées (rugosité) pour les cours d'eau naturels avec une végétation dense que pour les conduites en béton lisse.
Assurez-vous que la pente (S) est saisie sous forme de rapport décimal (par ex., 0.01) plutôt qu'en pourcentage (par ex., 1%).

Avoid these traps

Common Mistakes

Utiliser une mauvaise valeur de n de Manning.
Confondre le rayon hydraulique avec la profondeur.

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Estime la vitesse moyenne d'écoulement dans un canal ouvert, où la gravité entraîne l'écoulement vers le bas de la pente et la friction de la paroi du canal y résiste.

Cette formule s'applique aux écoulements uniformes permanents en canal ouvert, où la surface de l'eau est parallèle au lit du chenal. Elle est couramment utilisée par les hydrologues et les ingénieurs pour modéliser les rivières, les canaux et les ponceaux où l'écoulement est dû à la gravité.

Elle est fondamentale pour la gestion du risque d'inondation et la conception des systèmes de drainage urbain. En prédisant la vitesse d'écoulement, les planificateurs peuvent déterminer si un chenal peut supporter certains volumes de débit ou si la vitesse provoquera une érosion importante des berges.

Utiliser une mauvaise valeur de n de Manning. Confondre le rayon hydraulique avec la profondeur.

Dans le contexte de Prédire le débit de crue dans le drainage urbain, Manning's Equation sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier les quantités mesurées à la concentration, au rendement, au changement d'énergie, à la vitesse de réaction ou à l'équilibre.

Calculez le rayon hydraulique (R) en divisant la surface de la section d'écoulement par son périmètre mouillé. Utilisez toujours des valeurs de n plus élevées (rugosité) pour les cours d'eau naturels avec une végétation dense que pour les conduites en béton lisse. Assurez-vous que la pente (S) est saisie sous forme de rapport décimal (par ex., 0.01) plutôt qu'en pourcentage (par ex., 1%).

References

Sources

Wikipedia: Manning formula
Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. Transport Phenomena
Chow, V. T. (1959). Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill.
Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H., & Huebsch, W. W. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics (7th ed.). John Wiley & Sons.
Chow, Ven Te. Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill, 1959.
Bird, R. Byron, Stewart, Warren E., Lightfoot, Edwin N. Transport Phenomena. 2nd ed. John Wiley & Sons, 2002.
Wikipedia: Manning formula (article title)
Edexcel A-Level Geography — Water Insecurity and Hydrology

Overview

Variables

Derivation

Identifier les variables clés :

Énoncer la formule empirique :

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Stream Power

Frequently Asked Questions

Sources