Règle du quotient

Core idea

Overview

La règle du quotient est une formule fondamentale du calcul utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction composée de la division de deux autres fonctions dérivables. Elle établit une relation formelle entre la dérivée du quotient et les valeurs individuelles ainsi que les dérivées du numérateur et du dénominateur.

When to use: Appliquez cette règle lorsque vous devez dériver une fraction où l'expression du haut et celle du bas sont toutes deux des fonctions de la même variable indépendante. C'est l'outil principal pour les fonctions rationnelles qui ne peuvent pas être facilement simplifiées en formes polynomiales ou produits plus simples.

Why it matters: Elle est essentielle pour analyser des taux en science et en économie, comme la détermination de la productivité marginale ou de la vitesse d'objets en dynamique des fluides. Elle permet également de dériver d'autres règles importantes du calcul, en particulier celles des fonctions trigonométriques comme la tangente et la sécante.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, v = Denominator v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u', u = Numerator u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

v

Denominator v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

u

Numerator u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

Walkthrough

Derivation

Dérivation de la règle du quotient

La règle du quotient permet de dériver u(x)/v(x). Elle peut être dérivée en la réécrivant comme un produit u(x)·v(x)^(-1) et en appliquant les règles du produit et de la chaîne.

u(x) et v(x) sont dérivables.
v(x) $\neq =$ 0 sur l'intervalle d'intérêt.

1

Réécrire comme un produit :

Écrire $\frac{u}{v}$ sous la forme $u v^{- 1}$ .

y = u \cdot v^{- 1}

2

Dériver en utilisant les règles du produit et de la chaîne :

Dérivez u normalement, et dérivez $v^{- 1}$ en utilisant la règle de la chaîne.

\frac{d y}{d x} = u^{'} v^{- 1} + u (- 1 \cdot v^{- 2} \cdot v^{'})

3

Réécrire avec des fractions :

Convertir les puissances négatives sous forme de fraction.

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'}}{v} - \frac{u v ^{'}}{v ^{2}}

4

Combiner sur un dénominateur commun :

Mettez les deux termes sur $v^{2}$ pour obtenir la règle du quotient standard.

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Source: OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Why it behaves this way

Intuition

La règle du quotient fournit la pente de la tangente au graphique d'une fonction y = u(x)/v(x) en tout point donné, en combinant les taux de changement individuels et les valeurs de ses fonctions numérateur et dénominateur.

Term

Le taux de changement instantané de la fonction y, qui est un quotient de u et v, par rapport à la variable indépendante x.

Représente la vitesse à laquelle le rapport u/v change en un point spécifique.

Term

La fonction numérateur, dépendante de x.

La partie « supérieure » de la fraction dont la dérivée est recherchée.

Term

La fonction dénominateur, dépendante de x.

La partie « inférieure » de la fraction ; sa valeur met fortement à l'échelle le quotient global.

Term

Le taux de changement instantané de la fonction numérateur u par rapport à x.

La vitesse à laquelle la partie « supérieure » de la fraction change.

Term

Le taux de changement instantané de la fonction dénominateur v par rapport à x.

La vitesse à laquelle la partie « inférieure » de la fraction change.

Signs and relationships

Le signe moins dans v (du/dx) - u (dv/dx): Ce signe négatif tient compte de la relation inverse entre le dénominateur et le quotient global. Si le dénominateur v augmente (dv/dx > 0)
v^2 au dénominateur: Ce terme garantit que la dérivée est mise à l'échelle inversement par le carré de la fonction dénominateur. Il reflète le fait que les changements du dénominateur ont un effet plus prononcé sur le quotient lorsque v est petit, et ce dans le contexte pertinent.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Cette équation est utilisée pour déterminer la dérivée d'un quotient de deux fonctions, en s'assurant que les unités de la dérivée résultante sont cohérentes avec les unités des fonctions originales et de la variable indépendante.

Dimension note

La règle du quotient est en elle-même une identité mathématique pour les dérivées et n'implique pas intrinsèquement des quantités sans dimension. Les unités de la dérivée dy/dx sont déterminées par les unités des fonctions u et v, et de la variable indépendante x.

One free problem

Practice Problem

Une fonction est définie par y = u/v. Si en un certain point le numérateur u vaut 4, sa dérivée du vaut 5, le dénominateur v vaut 2 et sa dérivée dv vaut 1, calculez la dérivée dy en ce point.

Hint: Appliquez la formule : (v × du - u × dv) / v².

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Taux de variation de la densité (masse/volume), Règle du quotient sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier le calcul à la forme, au taux de variation, à la probabilité ou à la contrainte du modèle.

Study smarter

Tips

Utilisez le moyen mnémotechnique « Bas d-Haut moins Haut d-Bas, le carré du bas et tout va ».
Commencez toujours par le dénominateur multiplié par la dérivée du numérateur pour éviter les erreurs de signe.
Vérifiez les facteurs communs dans le numérateur obtenu afin de simplifier la fraction après application de la règle.

Avoid these traps

Common Mistakes

Inverser les termes u et v.
Oublier le dénominateur v².

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La règle du quotient permet de dériver u(x)/v(x). Elle peut être dérivée en la réécrivant comme un produit u(x)·v(x)^(-1) et en appliquant les règles du produit et de la chaîne.

Appliquez cette règle lorsque vous devez dériver une fraction où l'expression du haut et celle du bas sont toutes deux des fonctions de la même variable indépendante. C'est l'outil principal pour les fonctions rationnelles qui ne peuvent pas être facilement simplifiées en formes polynomiales ou produits plus simples.

Elle est essentielle pour analyser des taux en science et en économie, comme la détermination de la productivité marginale ou de la vitesse d'objets en dynamique des fluides. Elle permet également de dériver d'autres règles importantes du calcul, en particulier celles des fonctions trigonométriques comme la tangente et la sécante.

Inverser les termes u et v. Oublier le dénominateur v².

Dans le contexte de Taux de variation de la densité (masse/volume), Règle du quotient sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier le calcul à la forme, au taux de variation, à la probabilité ou à la contrainte du modèle.

Utilisez le moyen mnémotechnique « Bas d-Haut moins Haut d-Bas, le carré du bas et tout va ». Commencez toujours par le dénominateur multiplié par la dérivée du numérateur pour éviter les erreurs de signe. Vérifiez les facteurs communs dans le numérateur obtenu afin de simplifier la fraction après application de la règle.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Wikipedia: Quotient rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
Thomas, George B., Jr., et al. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Thomas, George B. Jr., Weir, Maurice D., Hass, Joel. Thomas' Calculus. Pearson Education.
Wikipedia article "Quotient rule
OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Réécrire comme un produit :

Dériver en utilisant les règles du produit et de la chaîne :

Réécrire avec des fractions :

Combiner sur un dénominateur commun :

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Product Rule

Frequently Asked Questions

Sources