Harmoniques sphériques

Core idea

Overview

Les harmoniques sphériques sont des autofonctions simultanées de L^2 et Lz, elles portent donc les nombres quantiques l et m.

When to use: Définit les fonctions angulaires utilisées pour les rotors rigides et les orbitales atomiques.

Why it matters: Les harmoniques sphériques sont des autofonctions simultanées de L^2 et Lz, elles portent donc les nombres quantiques l et m.

Walkthrough

Derivation

Dérivation des harmoniques sphériques

Définit les fonctions angulaires utilisées pour les rotateurs rigides et les orbitales atomiques.

Les symboles utilisent la convention standard de la chimie quantique pour ce sujet.
L'expression est utilisée dans le modèle nommé dans l'entrée.

1

Partir du modèle

Interpréter la relation affichée comme une règle, une définition ou un énoncé d'opérateur.

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

2

Identifier les éléments physiques

Les harmoniques sphériques sont des fonctions propres simultanées de $L^{2}$ et Lz, donc elles portent les nombres quantiques l et m.

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

3

Utiliser le résultat avec précaution

Appliquer l'expression uniquement lorsque les hypothèses du modèle sont satisfaites.

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

Result

Y_{l}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} \frac{2 l + 1}{4 π} \frac{( l - m )!}{( l + m )!} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im ϕ}

Source: Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules; Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator

Why it behaves this way

Intuition

Les harmoniques sphériques sont des fonctions propres simultanées de $L^{2}$ et Lz, elles portent donc les nombres quantiques l et m.

Term

Sens physique : Les harmoniques sphériques sont utilisées pour représenter les états du moment cinétique des systèmes quantiques, qui peuvent être exploités en tant que qubits. Leurs formes spécifiques définissent la base.

Les harmoniques sphériques sont des fonctions propres simultanées de

L^{2}

et Lz, donc elles portent les nombres quantiques l et m.

Signs and relationships

termes positifs: Les termes positifs représentent généralement l'énergie cinétique, les barrières ou les grandeurs.
termes négatifs: Les termes négatifs représentent généralement des interactions attractives ou une diminution d'énergie lorsqu'ils sont présents.

One free problem

Practice Problem

Pour l=2, quelles valeurs de m sont autorisées ?

Hint: Concentrez-vous sur ce que la formule vous dit physiquement.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans les modeles d'orbitales atomiques, les formes angulaires des orbitales p proviennent des harmoniques spheriques avec l = 1. On utilise les harmoniques spheriques pour decrire $Y_l^m(\theta, \phi)$. Ce resultat est important car il relie la forme angulaire de la fonction d'onde aux nombres quantiques.

Study smarter

Tips

l contrôle la forme angulaire totale.
m contrôle la projection sur l'axe z et la dépendance en phi.

Avoid these traps

Common Mistakes

Oublier que m doit satisfaire -l <= m <= l.
Confondre les harmoniques sphériques avec les fonctions d'onde radiales.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Définit les fonctions angulaires utilisées pour les rotateurs rigides et les orbitales atomiques.

Définit les fonctions angulaires utilisées pour les rotors rigides et les orbitales atomiques.

Les harmoniques sphériques sont des autofonctions simultanées de L^2 et Lz, elles portent donc les nombres quantiques l et m.

Oublier que m doit satisfaire -l <= m <= l. Confondre les harmoniques sphériques avec les fonctions d'onde radiales.

Dans les modeles d'orbitales atomiques, les formes angulaires des orbitales p proviennent des harmoniques spheriques avec l = 1. On utilise les harmoniques spheriques pour decrire $Y_l^m(\theta, \phi)$. Ce resultat est important car il relie la forme angulaire de la fonction d'onde aux nombres quantiques.

l contrôle la forme angulaire totale. m contrôle la projection sur l'axe z et la dépendance en phi.

References

Sources

Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules; Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator
Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules
Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator
Wikipedia: Spherical harmonics
NIST CODATA: Fundamental Physical Constants
Griffiths, David J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
Wikipedia, "Spherical harmonics"