रैंक-नलिटी प्रमेय Calculator

Formula first

Overview

एक रैखिक मानचित्र T: V → W के संदर्भ में जहाँ V परिमित-आयामी है, यह प्रमेय कर्नेल और छवि के आयामों के बीच संबंध पर एक मौलिक बाधा प्रदान करता है।

Symbols

Variables

$\dim$(V) = Dimension of Domain, $\text{rank}$(T) = Rank, $\text{nullity}$(T) = Nullity

Apply it well

When To Use

When to use: यह प्रमेय रैखिक बीजगणित के स्नातक स्तर पर उप-स्थानों के आयामों को निर्धारित करने के लिए सबसे मौलिक उपकरण है जो रैखिक परिवर्तनों से जुड़ा है।

Why it matters: यह इंजेक्टिविटी (नलिटी से जुड़ा) और सर्जेक्टिविटी (रैंक से जुड़ा) की अवधारणा को डोमेन स्थान की ज्यामिति से जोड़ता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

• कोडोमेन (W) के आयाम को डोमेन (V) के आयाम के साथ भ्रमित करना।
• यह मानना कि प्रमेय गैर-रैखिक परिवर्तनों पर लागू होता है।

One free problem

Practice Problem

एक रैखिक परिवर्तन T: ℳ → Ⅎ को देखते हुए जहाँ कर्नेल मूल बिंदु से एक रेखा है (आयाम 1), T के रैंक की गणना करें।

Hint: डोमेन का आयाम 3 है। यदि नलिटी 1 है, तो प्रमेय का उपयोग करें: रैंक + नलिटी = डिम(V)।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
2. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
3. Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
4. Wikipedia: Rank-nullity theorem
5. Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
6. Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
7. Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
8. Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'