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लंबकोणीय प्रक्षेपण

सदिश u द्वारा फैलाए गए उप-समष्टि पर सदिश v का प्रक्षेपण परिकलित करता है।

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proj_{u} (v) = \frac{u \cdot v}{u \cdot u} u

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Core idea

Overview

एक सदिश u पर एक सदिश v का लंबकोणीय प्रक्षेपण v के उस घटक को निर्धारित करता है जो u की दिशा में इंगित करता है। यह प्रक्रिया प्रभावी रूप से v को u द्वारा फैलाए गए रेखा पर मानचित्रित करती है, एक नया सदिश बनाती है जो उस रेखा में मूल सदिश v के सबसे निकट का बिंदु है।

When to use: इस सूत्र का उपयोग तब करें जब आपको किसी सदिश को एक संदर्भ सदिश के संबंध में समानांतर और लंबवत घटकों में विघटित करने की आवश्यकता हो। यह ग्राम-श्मिट प्रक्रिया में ओर्थोनॉर्मल आधार बनाने और किसी बिंदु से रेखा तक की सबसे छोटी दूरी खोजने के लिए आवश्यक है।

Why it matters: लंबकोणीय प्रक्षेपण सांख्यिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्स में रैखिक प्रतिगमन के लिए गणितीय आधार हैं। वे इंजीनियरों को बलों को विशिष्ट दिशाओं में हल करने और डेटा वैज्ञानिकों को जटिल डेटासेट के आयाम को कम करने की अनुमति देते हैं।

Symbols

Variables

c = Scalar Coefficient, u $\cdot$ v = u · v, u $\cdot$ u = u · u

c

Scalar Coefficient

Variable

u \cdot v

u · v

Variable

u \cdot u

u · u

Variable

Walkthrough

Derivation

लंबकोणीय प्रक्षेपण

यह व्युत्पत्ति दर्शाती है कि सदिश $v$ के उस घटक को कैसे ज्ञात करें जो दूसरे सदिश $u$ के साथ स्थित है, जिसे ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन (orthogonal projection) के रूप में जाना जाता है।

सदिश $u$ और $v$ एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद समष्टि (real inner product space) (जैसे, $R^{n}$ ) के तत्व हैं।
सदिश $u$ गैर-शून्य है, अर्थात $u \neq = 0$ .

प्रक्षेपित सदिश और उसके गुणों को परिभाषित करें:

हम प्रोजेक्शन को एक सदिश $p$ के रूप में परिभाषित करते हैं जो $u$ के साथ स्थित है। चूंकि यह $u$ के साथ स्थित है, यह $u$ का एक स्केलर गुणक होना चाहिए।

Let proj_{u} (v) = p . The vector p must be parallel to u, so p = k u for some scalar k \in R .

ऑर्थोगोनलिटी स्थिति स्थापित करें:

एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन की परिभाषित विशेषता यह है कि 'त्रुटि' सदिश, $v - p$ , उस सदिश $u$ के लंबवत (perpendicular) होता है जिस पर $v$ प्रोजेक्ट किया जाता है।

The vector from v to its projection p must be orthogonal to u . Thus, (v - p) \cdot u = 0.

डॉट उत्पाद को प्रतिस्थापित और विस्तारित करें:

हम $p$ को $k$ और $u$ के संदर्भ में उसके व्यंजक से बदलते हैं, फिर स्केलर $k$ को अलग करने के लिए डॉट उत्पाद को वितरित करते हैं।

Substitute p = k u into the orthogonality condition: (v - k u) \cdot u = 0. Using properties of the dot product: v \cdot u - k (u \cdot u) = 0.

स्केलर k के लिए हल करें और प्रोजेक्शन को व्यक्त करें:

$k$ के लिए हल करके, हम स्केलर गुणक पाते हैं जो प्रोजेक्शन सदिश देने के लिए $u$ को स्केल करता है, इस प्रकार व्युत्पत्ति को पूरा करता है।

Rearrange the equation to solve for k : k (u \cdot u) = v \cdot u ⟹ k = \frac{u \cdot v}{u \cdot u} . Substitute k back into p = k u : proj_{u} (v) = \frac{u \cdot v}{u \cdot u} u .

Result

Rearrange the equation to solve for k : k (u \cdot u) = v \cdot u ⟹ k = \frac{u \cdot v}{u \cdot u} . Substitute k back into p = k u : proj_{u} (v) = \frac{u \cdot v}{u \cdot u} u .

Source: Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications (5th ed.). Pearson.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $c$

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन

\frac{d o t U V}{d o t U U}

ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के सूत्र से प्रारंभ करें। अदिश गुणांक 'सी' को पहचानें और फिर इसे डॉट उत्पादों के संदर्भ में 'सी' व्यक्त करने के लिए अलग करें।

Difficulty: 2/5

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Why it behaves this way

Intuition

कल्पना करें कि सदिश v, सदिश u द्वारा परिभाषित रेखा पर एक छाया डालता है, जहाँ 'प्रकाश स्रोत' u के लंबवत है।

Term

संदर्भ सदिश जो उस दिशा या उप-समष्टि को परिभाषित करता है जिस पर दूसरे सदिश को प्रोजेक्ट किया जाता है।

यह सदिश प्रोजेक्शन के लिए 'लक्ष्य रेखा' या 'दिशा' निर्धारित करता है।

Term

प्रोजेक्ट किया जा रहा सदिश।

यह वह सदिश है जिसका घटक

u

के साथ ज्ञात करना है।

Term

सदिश $u$ और $v$ का डॉट उत्पाद, एक स्केलर मान जो इंगित करता है कि वे कितनी हद तक एक ही दिशा में इंगित करते हैं, उनके परिमाण से स्केल किया गया है।

यह

u

और

v

के बीच 'ओवरलैप' या 'संरेखण' को मापता है। एक सकारात्मक मान का मतलब है कि वे आम तौर पर एक ही दिशा में इंगित करते हैं, नकारात्मक का मतलब विपरीत है, और शून्य का मतलब वे ऑर्थोगोनल (orthogonal) हैं।

Term

सदिश $u$ का स्वयं के साथ डॉट उत्पाद, जो सदिश $u$ का वर्ग परिमाण (लंबाई) है।

यह पद प्रोजेक्शन को सामान्यीकृत (normalizes) करता है, यह सुनिश्चित करता है कि परिणाम इनपुट सदिशों के डॉट उत्पादों द्वारा निर्धारित एक स्थिर अनुपात द्वारा u के परिमाण के बिना स्केल किया गया है। यह प्रभावी रूप से न्यूमेरेटर के u

\cdot

v से u के परिमाण को हटा देता है और फिर u की दिशा को फिर से प्रस्तुत करता है।

Term

एक स्केलर गुणांक जो प्रोजेक्टेड सदिश की 'लंबाई' और 'दिशा' (u के सापेक्ष) निर्धारित करता है।

यह 'कितना' v, u के साथ स्थित है। यदि यह सकारात्मक है, तो प्रोजेक्टेड सदिश

u

की दिशा में इंगित करता है। यदि यह नकारात्मक है, तो यह

u

के विपरीत इंगित करता है।

Term

परिणामी सदिश, जो सदिश $v$ का वह घटक है जो पूरी तरह से सदिश $u$ की दिशा में स्थित है।

यह

v

की 'छाया' है जो

u

द्वारा परिभाषित रेखा पर डाली जाती है, या

v

का वह हिस्सा जो

u

के 'समानांतर' है।

Signs and relationships

u · v: यदि सदिश $u$ और $v$ के बीच का कोण अधिक (90 डिग्री से अधिक) है, तो डॉट उत्पाद नकारात्मक हो सकता है। यह सही ढंग से इंगित करता है कि $v$ का $u$ पर प्रोजेक्शन $u$ की विपरीत दिशा में इंगित करेगा।

Free study cues

Insight

Canonical usage

All vectors involved in the projection (the vector being projected, the vector onto which it is projected, and the resulting projected vector) must share the same units.

Dimension note

The scalar factor (u · v) / (u · u) is dimensionless, as it is a ratio of magnitudes squared. However, the final vector proj_u(v) retains the units of the original vectors u and v.

One free problem

Practice Problem

एक भौतिकी सिमुलेशन में, एक बल सदिश v को एक दिशात्मक सदिश u पर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि डॉट प्रोडक्ट u ⋅ v की गणना 18 के रूप में की जाती है और u का स्वयं से डॉट प्रोडक्ट (u ⋅ u) 6 है, तो प्रक्षेपण के लिए परिणामी अदिश गुणक क्या है?

Hint: दो सदिशों के डॉट प्रोडक्ट को संदर्भ सदिश u के स्वयं से डॉट प्रोडक्ट से विभाजित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक झुके हुए तल की सतह के समानांतर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को खोजना।

Study smarter

Tips

शून्य से विभाजन से बचने के लिए सुनिश्चित करें कि संदर्भ सदिश u गैर-शून्य है।
यहां परिणाम चर प्रक्षेपण को स्केल करने वाले अदिश गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है।
याद रखें कि u ⋅ u, u के वर्ग परिमाण के समान है।

Avoid these traps

Common Mistakes

हर (denominator) में डॉट प्रोडक्ट u · u (वर्ग परिमाण) के बजाय u के परिमाण का उपयोग करना।
प्रक्षेपित किए जा रहे सदिश (v) को दिशा (u) को परिभाषित करने वाले सदिश के साथ भ्रमित करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

इस सूत्र का उपयोग तब करें जब आपको किसी सदिश को एक संदर्भ सदिश के संबंध में समानांतर और लंबवत घटकों में विघटित करने की आवश्यकता हो। यह ग्राम-श्मिट प्रक्रिया में ओर्थोनॉर्मल आधार बनाने और किसी बिंदु से रेखा तक की सबसे छोटी दूरी खोजने के लिए आवश्यक है।

लंबकोणीय प्रक्षेपण सांख्यिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्स में रैखिक प्रतिगमन के लिए गणितीय आधार हैं। वे इंजीनियरों को बलों को विशिष्ट दिशाओं में हल करने और डेटा वैज्ञानिकों को जटिल डेटासेट के आयाम को कम करने की अनुमति देते हैं।

हर (denominator) में डॉट प्रोडक्ट u · u (वर्ग परिमाण) के बजाय u के परिमाण का उपयोग करना। प्रक्षेपित किए जा रहे सदिश (v) को दिशा (u) को परिभाषित करने वाले सदिश के साथ भ्रमित करना।

शून्य से विभाजन से बचने के लिए सुनिश्चित करें कि संदर्भ सदिश u गैर-शून्य है। यहां परिणाम चर प्रक्षेपण को स्केल करने वाले अदिश गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है। याद रखें कि u ⋅ u, u के वर्ग परिमाण के समान है।

References

Sources

Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay
Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang
Wikipedia: Vector projection
Wikipedia: Projection (linear algebra)
Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson, 2016.
Wikipedia: Projection (linear algebra). Wikimedia Foundation. Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)
Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications (5th ed.). Pearson.

लंबकोणीय प्रक्षेपण

Overview

Variables

Derivation

प्रक्षेपित सदिश और उसके गुणों को परिभाषित करें:

ऑर्थोगोनलिटी स्थिति स्थापित करें:

डॉट उत्पाद को प्रतिस्थापित और विस्तारित करें:

स्केलर k के लिए हल करें और प्रोजेक्शन को व्यक्त करें:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Gram-Schmidt Orthogonalization

Matrix Trace

Rank-Nullity Theorem

Frequently Asked Questions

Sources