रैंक-नलिटी प्रमेय

Core idea

Overview

एक रैखिक मानचित्र T: V → W के संदर्भ में जहाँ V परिमित-आयामी है, यह प्रमेय कर्नेल और छवि के आयामों के बीच संबंध पर एक मौलिक बाधा प्रदान करता है।

When to use: यह प्रमेय रैखिक बीजगणित के स्नातक स्तर पर उप-स्थानों के आयामों को निर्धारित करने के लिए सबसे मौलिक उपकरण है जो रैखिक परिवर्तनों से जुड़ा है।

Why it matters: यह इंजेक्टिविटी (नलिटी से जुड़ा) और सर्जेक्टिविटी (रैंक से जुड़ा) की अवधारणा को डोमेन स्थान की ज्यामिति से जोड़ता है।

Symbols

Variables

$dim$ (V) = Dimension of Domain, $rank$ (T) = Rank, $nullity$ (T) = Nullity

dim (V)

Dimension of Domain

Variable

rank (T)

Rank

Variable

nullity (T)

Nullity

Variable

Walkthrough

Derivation

रैंक-नलिटी प्रमेय

यह व्युत्पत्ति दर्शाती है कि एक रैखिक परिवर्तन के लिए, उसके कर्नेल (शून्यता) के आयाम और उसके प्रतिबिंब (रैंक) के आयाम का योग उसके डोमेन के आयाम के बराबर होता है।

V और W एक ही क्षेत्र F पर सदिश स्थान हैं।
T: V $\to$ W एक रैखिक परिवर्तन है।
V एक परिमित-आयामी सदिश स्थान है।

1

कर्नेल और छवि आयामों को परिभाषित करें:

हम एक रैखिक परिवर्तन के कर्नेल और छवि को परिभाषित करके शुरू करते हैं, जो डोमेन और कोडोमेन के उप-स्थान हैं। उनके आयामों को परिवर्तन की शून्यता और रैंक के रूप में जाना जाता है।

Let T : V \to W be a linear transformation. \n The kernel of T is Ker (T) = {v \in V ∣ T (v) = 0_{W}} . \n The image of T is Im (T) = {w \in W ∣ \exists v \in V s.t. T (v) = w} . \n We define nullity (T) = dim (Ker (T)) and rank (T) = dim (Im (T)) .

2

डोमेन के लिए एक आधार का निर्माण करें:

हम कर्नेल के लिए एक आधार के साथ शुरू करते हैं और इसे पूरे डोमेन सदिश स्थान V के लिए एक पूर्ण आधार बनाने के लिए बढ़ाते हैं। यह हमें V में किसी भी सदिश को इन आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।

Let {v_{1}, \dots, v_{k}} be a basis for Ker (T), so k = nullity (T) . \n By the Basis Extension Theorem, we can extend this to a basis for V : \n B_{V} = {v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}}, where n = dim (V) .

3

विस्तारित आधार की छवियों को छवि के लिए एक आधार बनाने के लिए दिखाएं:

हम उन आधार सदिशों की छवियों की जांच करते हैं जो कर्नेल में नहीं थे। हम सिद्ध करते हैं कि ये छवियां पूरी छवि स्थान को फैलाती हैं और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इस प्रकार छवि के लिए एक आधार बनाती हैं।

Consider the set of vectors S = {T (v_{k + 1}), \dots, T (v_{n})} . \n We show S is a basis for Im (T) . \n 1. S spans Im (T) : Any w \in Im (T) is T (v) for some v \in V . \n v = c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} + c_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + c_{n} v_{n} . \n T (v) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{k} T (v_{k}) + c_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) . \n Since v_{1}, \dots, v_{k} \in Ker (T), T (v_{i}) = 0 for i \leq k . \n So T (v) = c_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}), meaning S spans Im (T) . \n 2. S is linearly independent: Assume d_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + d_{n} T (v_{n}) = 0. \n T (d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n}) = 0. \n This implies d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n} \in Ker (T) . \n So d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n} = e_{1} v_{1} + \dots + e_{k} v_{k} for some scalars e_{i} . \n e_{1} v_{1} + \dots + e_{k} v_{k} - d_{k + 1} v_{k + 1} - \dots - d_{n} v_{n} = 0. \n Since B_{V} is a basis, all coefficients must be zero, so d_{k + 1} = \dots = d_{n} = 0. \n Thus, S is linearly independent and forms a basis for Im (T) .

4

रैंक-शून्यता प्रमेय का निष्कर्ष निकालें:

छवि के लिए आधार में सदिशों की संख्या गिनकर, हम स्थापित करते हैं कि रैंक डोमेन के आयाम के बराबर है घटा शून्यता। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर रैंक-शून्यता प्रमेय प्राप्त होता है।

The number of vectors in the basis S for Im (T) is n - k . \n Therefore, dim (Im (T)) = n - k . \n Substituting the definitions: rank (T) = dim (V) - nullity (T) . \n Rearranging, we get the Rank-Nullity Theorem: rank (T) + nullity (T) = dim (V) .

Result

The number of vectors in the basis S for Im (T) is n - k . \n Therefore, dim (Im (T)) = n - k . \n Substituting the definitions: rank (T) = dim (V) - nullity (T) . \n Rearranging, we get the Rank-Nullity Theorem: rank (T) + nullity (T) = dim (V) .

Source: Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler

Free formulas

Rearrangements

Solve for $dim (V)$

रैंक-शून्यता प्रमेय: $dim$ (V) को विषय बनाएं

x + y

रैंक-शून्यता प्रमेय से प्रारंभ करें और शॉर्टहैंड वेरिएबल x (रैंक) और y (शून्यता) के संदर्भ में $dim$ (V) को व्यक्त करें।

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

कल्पना करें कि इनपुट स्पेस V के कुल 'आकार' (आयाम) को रैखिक परिवर्तन T द्वारा दो पूरक भागों में विभाजित किया गया है: एक भाग जो 'कुचल' कर शून्य सदिश (शून्य स्थान) हो जाता है, और दूसरा भाग जो

Term

रैखिक परिवर्तन T की छवि (श्रेणी) का आयाम। यह 'आउटपुट क्षमता' या आउटपुट स्थान में स्वतंत्र दिशाओं की संख्या को मापता है।

इनपुट स्पेस के 'उपयोगी' भाग का प्रतिनिधित्व करता है जो विशिष्ट आउटपुट में योगदान देता है। उच्च रैंक का मतलब है कि परिवर्तन अधिक विशिष्ट जानकारी बनाए रखता है।

Term

रैखिक परिवर्तन टी के कर्नेल (null अंतरिक्ष) का आयाम यह 'सूचना हानि' या स्वतंत्र इनपुट निर्देशों की संख्या को मापता है जो संबंधित भौतिक या गणितीय मात्रा को मैप किया जाता है।

इनपुट स्पेस के 'ढह' हुए हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है। उच्च शून्यता का मतलब है कि कई विशिष्ट इनपुट एक ही आउटपुट (विशेष रूप से, शून्य) पर मैप किए जाते हैं, जो महत्वपूर्ण सूचना हानि का संकेत देता है।

Term

डोमेन सदिश स्थान V का आयाम। यह स्वतंत्र इनपुट घटकों की कुल संख्या या इनपुट स्पेस के 'आकार' का प्रतिनिधित्व करता है।

परिवर्तन से पहले इनपुट सूचना की कुल 'क्षमता'।

Free study cues

Insight

Canonical usage

This equation is used to relate the integer dimensions of vector spaces and linear map properties. The terms 'rank', 'nullity', and 'dimension' refer to the number of basis vectors in the respective spaces, and thus are dimensionless counts.

Dimension note

All quantities in the Rank-Nullity Theorem (rank, nullity, and dimension of V) are mathematical dimensions, meaning they are non-negative integer counts of basis vectors. They do not possess physical units.

One free problem

Practice Problem

एक रैखिक परिवर्तन T: ℳ → Ⅎ को देखते हुए जहाँ कर्नेल मूल बिंदु से एक रेखा है (आयाम 1), T के रैंक की गणना करें।

Hint: डोमेन का आयाम 3 है। यदि नलिटी 1 है, तो प्रमेय का उपयोग करें: रैंक + नलिटी = डिम(V)।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

डेटा विज्ञान में, जब उच्च-आयामी डेटा को निम्न-आयामी स्थान (आयाम में कमी) में प्रक्षेपित किया जाता है, तो रैंक-नलिटी प्रमेय यह निर्धारित करने में मदद करता है कि कितनी जानकारी संरक्षित है (रैंक) बनाम कितनी जानकारी खो गई है (नलिटी)।

Study smarter

Tips

प्रमेय लागू करने से पहले हमेशा सत्यापित करें कि सदिश स्थान V परिमित-आयामी है।
याद रखें कि समीकरण के दाहिने हाथ का आयाम डोमेन है, न कि कोडोमेन।

Avoid these traps

Common Mistakes

कोडोमेन (W) के आयाम को डोमेन (V) के आयाम के साथ भ्रमित करना।
यह मानना कि प्रमेय गैर-रैखिक परिवर्तनों पर लागू होता है।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

यह व्युत्पत्ति दर्शाती है कि एक रैखिक परिवर्तन के लिए, उसके कर्नेल (शून्यता) के आयाम और उसके प्रतिबिंब (रैंक) के आयाम का योग उसके डोमेन के आयाम के बराबर होता है।

यह प्रमेय रैखिक बीजगणित के स्नातक स्तर पर उप-स्थानों के आयामों को निर्धारित करने के लिए सबसे मौलिक उपकरण है जो रैखिक परिवर्तनों से जुड़ा है।

यह इंजेक्टिविटी (नलिटी से जुड़ा) और सर्जेक्टिविटी (रैंक से जुड़ा) की अवधारणा को डोमेन स्थान की ज्यामिति से जोड़ता है।

कोडोमेन (W) के आयाम को डोमेन (V) के आयाम के साथ भ्रमित करना। यह मानना कि प्रमेय गैर-रैखिक परिवर्तनों पर लागू होता है।

डेटा विज्ञान में, जब उच्च-आयामी डेटा को निम्न-आयामी स्थान (आयाम में कमी) में प्रक्षेपित किया जाता है, तो रैंक-नलिटी प्रमेय यह निर्धारित करने में मदद करता है कि कितनी जानकारी संरक्षित है (रैंक) बनाम कितनी जानकारी खो गई है (नलिटी)।

प्रमेय लागू करने से पहले हमेशा सत्यापित करें कि सदिश स्थान V परिमित-आयामी है। याद रखें कि समीकरण के दाहिने हाथ का आयाम डोमेन है, न कि कोडोमेन।

References

Sources

Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
Wikipedia: Rank-nullity theorem
Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'

Overview

Variables

Derivation

कर्नेल और छवि आयामों को परिभाषित करें:

डोमेन के लिए एक आधार का निर्माण करें:

विस्तारित आधार की छवियों को छवि के लिए एक आधार बनाने के लिए दिखाएं:

रैंक-शून्यता प्रमेय का निष्कर्ष निकालें:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Lagrange's Theorem

Orthogonal Projection

Gram-Schmidt Orthogonalization

Frequently Asked Questions

Sources