केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem)

Core idea

Overview

केली-हैमिल्टन प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स अपने स्वयं के अभिलाक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि यदि मैट्रिक्स A का अभिलाक्षणिक बहुपद p(λ) है, तो p(A) शून्य मैट्रिक्स का परिणाम देता है। यह मौलिक परिणाम मैट्रिक्स बीजगणित और बहुपद सिद्धांत के बीच की खाई को पाटता है, जिससे मैट्रिक्स विश्लेषण के लिए एक शक्तिशाली उपकरण मिलता है।

When to use: इस प्रमेय को तब लागू करें जब आप मैट्रिक्स की बड़ी शक्तियों की गणना कर रहे हों या पंक्ति न्यूनीकरण के बिना एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कर रहे हों। इसका उपयोग मैट्रिक्स-मानित फलनों को सरल बनाने और एक रैखिक ऑपरेटर के न्यूनतम बहुपद (minimal polynomial) को ज्ञात करने के लिए भी किया जाता है।

Why it matters: यह नियंत्रण सिद्धांत (control theory) और सिग्नल प्रोसेसिंग जैसे क्षेत्रों में मैट्रिक्स चरघातांकी (matrix exponentiation) को निम्न शक्तियों के रैखिक संयोजनों में परिवर्तित करके कम्प्यूटेशनल जटिलता को बहुत कम कर देता है। यह रैखिक बीजगणित में जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म (Jordan Canonical Form) और अन्य संरचनात्मक अपघटन (structural decompositions) का एक आधारशिला है।

Walkthrough

Derivation

केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem)

केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स अपने अभिलाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि यदि मैट्रिक्स को उसके अभिलाक्षणिक बहुपद में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणाम शून्य मैट्रिक्स (zero matrix) होता है।

मैट्रिक्स $A$ , $n \times n$ का एक वर्ग मैट्रिक्स है।
स्केलर का क्षेत्र $C$ (सम्मिश्र संख्याएँ) या $R$ (वास्तविक संख्याएँ) है।

1

अभिलाक्षणिक बहुपद और एडजुगेट (Adjugate) संबंध को परिभाषित करना:

हम एक $n \times n$ मैट्रिक्स $A$ के लिए अभिलाक्षणिक बहुपद $p (λ)$ को परिभाषित करके शुरू करते हैं। फिर हम मैट्रिक्स $(A - λ I)$ पर लागू करके, एक मैट्रिक्स, उसके एडजुगेट, और उसके सारणिक को जोड़ने वाले मौलिक संबंध को याद करते हैं।

Let A be an n \times n matrix. The characteristic polynomial is p (λ) = det (A - λ I) = c_{n} λ^{n} + c_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + c_{1} λ + c_{0} . We know that for any matrix M, M \cdot adj (M) = det (M) I . Applying this to (A - λ I) : (A - λ I) adj (A - λ I) = det (A - λ I) I = p (λ) I .

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एडजुगेट को एक बहुपद मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त करना:

चूंकि एडजुगेट मैट्रिक्स के तत्व उप-मैट्रिसों के सारणिक होते हैं $(A - λ I)$ , वे $λ$ में अधिकतम $n - 1$ डिग्री के बहुपद होते हैं। यह हमें एडजुगेट को $λ$ में एक बहुपद के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है जिसके गुणांक स्थिर मैट्रिक्स होते हैं।

The entries of adj (A - λ I) are cofactors of (A - λ I), which are polynomials in λ of degree at most n - 1. Thus, we can write adj (A - λ I) = B_{n - 1} λ^{n - 1} + B_{n - 2} λ^{n - 2} + \dots + B_{1} λ + B_{0}, where B_{k} are n \times n matrices with constant entries.

3

गुणांकों का मिलान और प्रमेय की व्युत्पत्ति:

$p (λ)$ और $adj (A - λ I)$ के लिए बहुपद व्यंजकों को पहचान में प्रतिस्थापित करके, हम $λ$ की घातों के गुणांकों का मिलान कर सकते हैं। इन परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों को उपयुक्त घातों $A$ से गुणा करके और उन्हें जोड़कर बाईं ओर एक टेलीस्कोपिंग योग (telescoping sum) होता है, जो शून्य मैट्रिक्स तक रद्द हो जाता है, इस प्रकार यह सिद्ध होता है कि $p (A)$ शून्य मैट्रिक्स के बराबर होता है।

Substitute the polynomial forms into the identity from Step 1: (A - λ I) (B_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + B_{0}) = (c_{n} λ^{n} + \dots + c_{0}) I . Expanding the left side and equating coefficients of powers of λ on both sides: - I B_{n - 1} n A B_{n - 1} - I B_{n - 2} n A B_{1} - I B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} I c_{n - 1} I ⋮ c_{1} I c_{0} I ⋮ Multiply each equation by A^{n}, A^{n - 1}, \dots, A^{1}, A^{0} respectively, from the left: - A^{n} B_{n - 1} n A^{n} B_{n - 1} - A^{n - 1} B_{n - 2} n A^{2} B_{1} - A B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} A^{n} c_{n - 1} A^{n - 1} ⋮ c_{1} A c_{0} I ⋮ Summing these equations yields the zero matrix on the left side due to telescoping cancellation: 0 = c_{n} A^{n} + c_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I . This is precisely p (A) = 0.

Result

Substitute the polynomial forms into the identity from Step 1: (A - λ I) (B_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + B_{0}) = (c_{n} λ^{n} + \dots + c_{0}) I . Expanding the left side and equating coefficients of powers of λ on both sides: - I B_{n - 1} n A B_{n - 1} - I B_{n - 2} n A B_{1} - I B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} I c_{n - 1} I ⋮ c_{1} I c_{0} I ⋮ Multiply each equation by A^{n}, A^{n - 1}, \dots, A^{1}, A^{0} respectively, from the left: - A^{n} B_{n - 1} n A^{n} B_{n - 1} - A^{n - 1} B_{n - 2} n A^{2} B_{1} - A B_{0} n A B_{0} = = = = c_{n} A^{n} c_{n - 1} A^{n - 1} ⋮ c_{1} A c_{0} I ⋮ Summing these equations yields the zero matrix on the left side due to telescoping cancellation: 0 = c_{n} A^{n} + c_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I . This is precisely p (A) = 0.

Source: Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang

Why it behaves this way

Intuition

वेक्टर को बदलने के लिए निर्देशों के एक सेट के रूप में एक वर्ग मैट्रिक्स की कल्पना करें; केले-हैमिल्टन प्रमेय ने कहा है कि यदि आप इन निर्देशों का एक विशिष्ट बहुपद अनुक्रम लागू करते हैं ( मैट्रिक्स की अपनी विशेषता बहुपद से प्राप्त), शुद्ध रूपांतरण शून्य परिवर्तन है।

Term

वर्ग मैट्रिक्स जिसके बीजगणितीय गुणों का वर्णन किया जा रहा है।

एक रैखिक रूपांतरण या एक प्रणाली के ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है।

Term

मैट्रिक्स A का अभिलाक्षणिक बहुपद, A को चर में प्रतिस्थापित करके मूल्यांकित किया गया।

यह ऑपरेशन A के लिए विशिष्ट एक मौलिक बीजगणितीय पहचान को प्रदर्शित करते हुए, A की घातों और स्केलर गुणकों को जोड़ता है।

Term

स्केलर गुणांक जो मैट्रिक्स A के विशिष्ट अभिलाक्षणिक बहुपद को परिभाषित करते हैं।

ये स्केलर उस अद्वितीय बहुपद समीकरण को निर्धारित करते हैं जिसे मैट्रिक्स A संतुष्ट करता है।

Term

पहचान मैट्रिक्स, जो मैट्रिक्स बीजगणित में गुणनात्मक पहचान के रूप में कार्य करता है।

यह सुनिश्चित करता है कि अभिलाक्षणिक बहुपद के स्थिर पद

a_{0}

को समीकरण में एक मैट्रिक्स के रूप में सही ढंग से दर्शाया गया है।

Term

शून्य मैट्रिक्स, जो मैट्रिक्स बीजगणित में योगात्मक पहचान के रूप में कार्य करता है।

यह दर्शाता है कि बहुपद व्यंजक, जब A के साथ मूल्यांकित किया जाता है, तो शून्य रूपांतरण या कोई शुद्ध प्रभाव न होने का परिणाम देता है।

Free study cues

Insight

Canonical usage

This mathematical theorem describes an algebraic identity for square matrices. If the matrix elements possess physical units, then the polynomial coefficients must be chosen to ensure dimensional consistency across all terms of the identity.

One free problem

Practice Problem

विकर्ण अवयव m11 = 5 और m22 = 3 के साथ एक 2×2 मैट्रिक्स A दिया गया है, केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है कि A समीकरण A² - kA + dI = 0 को संतुष्ट करता है। k का मान ज्ञात करें, जो मैट्रिक्स के ट्रेस (trace) के संगत है।

Hint: एक मैट्रिक्स का ट्रेस उसके विकर्ण अवयवों का योग होता है और अभिलाक्षणिक बहुपद में λ पद के ऋणात्मक गुणांक के रूप में प्रकट होता है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem) के संदर्भ में, केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

पहले अभिलाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) की गणना करें: det(λI - A) = 0.
λ को मैट्रिक्स A से और स्थिर पद (constant term) को तत्समक मैट्रिक्स I से प्रतिस्थापित करें।
अभिलाक्षणिक समीकरण को A⁻¹ से गुणा करके A⁻¹ को A के बहुपद के रूप में व्यक्त करने के लिए इसका उपयोग करें।

Avoid these traps

Common Mistakes

गैर-वर्ग (non-square) मैट्रिक्स पर प्रमेय लागू करना।
p(A) का मूल्यांकन करते समय तत्समक मैट्रिक्स (identity matrix) से स्थिर पद को गुणा करना भूल जाना।

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स अपने अभिलाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि यदि मैट्रिक्स को उसके अभिलाक्षणिक बहुपद में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणाम शून्य मैट्रिक्स (zero matrix) होता है।

इस प्रमेय को तब लागू करें जब आप मैट्रिक्स की बड़ी शक्तियों की गणना कर रहे हों या पंक्ति न्यूनीकरण के बिना एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कर रहे हों। इसका उपयोग मैट्रिक्स-मानित फलनों को सरल बनाने और एक रैखिक ऑपरेटर के न्यूनतम बहुपद (minimal polynomial) को ज्ञात करने के लिए भी किया जाता है।

यह नियंत्रण सिद्धांत (control theory) और सिग्नल प्रोसेसिंग जैसे क्षेत्रों में मैट्रिक्स चरघातांकी (matrix exponentiation) को निम्न शक्तियों के रैखिक संयोजनों में परिवर्तित करके कम्प्यूटेशनल जटिलता को बहुत कम कर देता है। यह रैखिक बीजगणित में जॉर्डन कैनोनिकल फॉर्म (Jordan Canonical Form) और अन्य संरचनात्मक अपघटन (structural decompositions) का एक आधारशिला है।

गैर-वर्ग (non-square) मैट्रिक्स पर प्रमेय लागू करना। p(A) का मूल्यांकन करते समय तत्समक मैट्रिक्स (identity matrix) से स्थिर पद को गुणा करना भूल जाना।

केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem) के संदर्भ में, केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

पहले अभिलाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) की गणना करें: det(λI - A) = 0. λ को मैट्रिक्स A से और स्थिर पद (constant term) को तत्समक मैट्रिक्स I से प्रतिस्थापित करें। अभिलाक्षणिक समीकरण को A⁻¹ से गुणा करके A⁻¹ को A के बहुपद के रूप में व्यक्त करने के लिए इसका उपयोग करें।

References

Sources

Wikipedia: Cayley-Hamilton theorem
Linear Algebra and Its Applications (5th ed.) by David C. Lay
Introduction to Linear Algebra (5th ed.) by Gilbert Strang
Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay
Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang
Linear Algebra and Its Applications, David C. Lay

Overview

Derivation

अभिलाक्षणिक बहुपद और एडजुगेट (Adjugate) संबंध को परिभाषित करना:

एडजुगेट को एक बहुपद मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त करना:

गुणांकों का मिलान और प्रमेय की व्युत्पत्ति:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Matrix Trace

Rank-Nullity Theorem

Frequently Asked Questions

Sources