विचलन प्रमेय (गॉस प्रमेय)

Core idea

Overview

यह मौलिक प्रमेय सतह समाकल और आयतन समाकल के बीच एक सेतु प्रदान करता है, प्रभावी रूप से यह दर्शाता है कि किसी क्षेत्र से बाहर निकलने वाले सदिश क्षेत्र का कुल प्रवाह उस क्षेत्र के भीतर सभी स्रोतों और सिंक के योग के बराबर है। यह कलन के मौलिक प्रमेय का त्रि-आयामी सामान्यीकरण है। भौतिक शब्दों में, यह बताता है कि किसी क्षेत्र के स्रोत (विचलन) का स्थानीय घनत्व सीमा के पार शुद्ध परिवहन में कैसे जमा होता है।

When to use: इस प्रमेय का उपयोग तब करें जब किसी बंद सीमा पर एक जटिल सतह समाकल का मूल्यांकन करना विचलन के आयतन समाकल की गणना करने से अधिक कठिन हो।

Why it matters: किसी आयतन के भीतर स्रोतों से उत्पन्न होने वाले क्षेत्रों को ट्रैक करने के लिए यह द्रव गतिकी, ऊष्मा हस्तांतरण और विद्युत चुम्बकत्व में आवश्यक है।

Symbols

Variables

V = Enclosed Volume, F = Vector Field, n = Normal Vector

V

Enclosed Volume

Variable

F

Vector Field

Variable

n

Normal Vector

Variable

Walkthrough

Derivation

विचलन प्रमेय (गॉस प्रमेय)

डाइवर्जेंस प्रमेय यह दिखाकर व्युत्पन्न किया जाता है कि एक प्राथमिक आयताकार आयतन की सीमा के माध्यम से एक सदिश क्षेत्र के शुद्ध प्रवाह (flux) उस आयतन पर डाइवर्जेंस के समाकलन के बराबर होता है, फिर इसे योज्य गुणों के माध्यम से मनमाने आयतन तक विस्तारित किया जाता है।

सदिश क्षेत्र F एक खुले क्षेत्र में निरंतर अवकलनीय है जिसमें V शामिल है।
आयतन V R³ में एक सघन, टुकड़ा-वार चिकना और उन्मुख क्षेत्र है।

1

एक प्राथमिक आयताकार सेल पर प्रवाह को परिभाषित करें

आयाम dx, dy, dz के एक छोटे आयताकार बॉक्स पर विचार करें। विपरीत फलकों (जैसे, x-अक्ष के लंबवत) पर शुद्ध प्रवाह को सदिश क्षेत्र के x-घटक में परिवर्तन को सतह क्षेत्र से गुणा करके अनुमानित किया जाता है, जिससे (∂Fx/∂x) dV प्राप्त होता है।

ΔΦ \approx (\frac{\partial F _{x}}{\partial x} + \frac{\partial F _{y}}{\partial y} + \frac{\partial F _{z}}{\partial z}) Δ x Δ y Δ z

Note: यह मूल रूप से प्रति इकाई आयतन प्रवाह घनत्व के रूप में डाइवर्जेंस की परिभाषा है।

2

आयतन के विभाजन पर योग करें

एक मनमाने आयतन V को कई छोटे आयताकार सेलों में विभाजित करके, हम प्रवाह योगदानों को जोड़ते हैं। आंतरिक फलक प्रवाह रद्द हो जाते हैं क्योंकि उन्हें विपरीत दिशाओं में दो बार पार किया जाता है।

\sum Flux_{i} \approx \sum (\nabla \cdot F)_{i} Δ V_{i}

Note: आंतरिक प्रवाह का रद्दीकरण प्रमेय का मौलिक तंत्र है।

3

रीमान समाकल में सीमा लें

जैसे-जैसे विभाजन का आकार शून्य के करीब आता है, आंतरिक प्रवाह का योग लुप्त हो जाता है, केवल सीमा सतहों के माध्यम से प्रवाह बचता है, जो डाइवर्जेंस के आयतन समाकल में परिवर्तित होता है।

Δ V \to 0 lim \sum (\nabla \cdot F)_{i} Δ V_{i} = ∭_{V} (\nabla \cdot F) d V

Note: यह संक्रमण रीमान समाकल की परिभाषा का एक मानक अनुप्रयोग है।

4

सतह समाकल के बराबर करें

आयतन V में डाइवर्जेंस के समाकल के बराबर सीमा के सभी सतह तत्वों के माध्यम से बाहर की ओर इंगित करने वाले प्रवाहों का योग।

∭_{V} (\nabla \cdot F) d V = \iint_{\partial V} (F \cdot n) d S

Note: सुनिश्चित करें कि सामान्य सदिश n हमेशा आयतन से बाहर की ओर इंगित करता है।

Result

∭_{V} (\nabla \cdot F) d V = \iint_{\partial V} (F \cdot n) d S

Source: Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\nabla \cdot F$

the divergence of F को विषय बनाएं

\nabla \cdot F = \frac{1}{d V} \iint_{\partial V} (F \cdot n) d S

$\nabla$ $\cdot$ $F$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $F$

the vector field F को विषय बनाएं

F = \nabla^{- 1} (\frac{1}{V} \iint_{\partial V} (F \cdot n) d S)

$F$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 5/5

Solve for $V$

the volume V को विषय बनाएं

V = set of points {(x, y, z) ∣ ∭_{V} (\nabla \cdot F) d V = Φ where Φ = \iint_{\partial V} (F \cdot n) d S}

flux को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 4/5

Solve for $n$

the unit normal vector n को विषय बनाएं

n = \frac{\iint _{\partial V} flux contribution d S}{\iint _{\partial V} F d S}

$n$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

एक गुब्बारे की कल्पना करें जो एक द्रव स्रोत (जैसे एयर पंप या हीट जनरेटर) से भरा हो। समीकरण का बायां पक्ष गुब्बारे के आयतन के अंदर होने वाले सभी 'सूक्ष्म-स्रोतों' (डाइवर्जेंस) को जोड़ता है। दाहिना पक्ष गुब्बारे की रबर त्वचा के माध्यम से बहने वाले 'शुद्ध प्रवाह' (flux) को मापता है। प्रमेय कहता है कि अंदर उत्पन्न कुल द्रव सतह के माध्यम से बाहर निकलने वाले कुल द्रव के बराबर होना चाहिए।

Term

F का डाइवर्जेंस

एकल बिंदु पर स्थानीय 'शुद्ध विस्तार' या 'बाहरी प्रवाह' को मापता है; यह बताता है कि क्षेत्र स्रोत (सकारात्मक) या सिंक (नकारात्मक) की तरह काम कर रहा है या नहीं।

Term

विभेदक आयतन तत्व

अंतरिक्ष का वह छोटा, अनंत काल घन जिसमें हम बिंदु-वार स्रोत गतिविधि की गणना करते हैं।

Term

सीमा सतह

बंद 'त्वचा' या खोल जो आयतन V के लिए कंटेनर के रूप में कार्य करता है।

Term

प्रवाह का सामान्य घटक

सतह से सीधे गुजरने वाले क्षेत्र का 'प्रभावी वेग', उन क्षेत्र के हिस्सों को अनदेखा करता है जो केवल सतह के समानांतर फिसलते हैं।

Signs and relationships

\mathbf{n}: परंपरा के अनुसार, सामान्य सदिश आयतन से बाहर की ओर इंगित करता है। एक सकारात्मक प्रवाह का अर्थ है कि आयतन से शुद्ध प्रवाह निकल रहा है, जबकि नकारात्मक प्रवाह का अर्थ है कि आयतन में शुद्ध प्रवाह प्रवेश कर रहा है।

One free problem

Practice Problem

मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या R = 1 के गोले की सतह के माध्यम से सदिश क्षेत्र F = x*i + y*j + z*k के बाहरी प्रवाह की गणना करें।

Hint: F = (x, y, z) का विचलन 3 है। इस स्थिरांक को गोले के आयतन पर समाकलित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

विद्युत चुम्बकत्व में, मैक्सवेल के समीकरणों में विद्युत आवेश को आयतन में संलग्न विद्युत प्रवाह के माध्यम से सतह सीमा (गॉस का नियम) से जोड़ने के लिए विचलन प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

Study smarter

Tips

हमेशा सुनिश्चित करें कि सतह बंद हो और बाहर की ओर उन्मुख हो।
जांचें कि क्या सदिश क्षेत्र पूरे संलग्न आयतन में परिभाषित और निरंतर है।
एक समन्वय प्रणाली (कार्टेशियन, बेलनाकार, या गोलाकार) चुनें जो आयतन की समरूपता से मेल खाती हो।

Avoid these traps

Common Mistakes

खुली सतहों पर अतिरिक्त 'कैप' जोड़े बिना प्रमेय लागू करना।
बाहर की ओर इंगित इकाई सामान्य वेक्टर का उपयोग करना भूल जाना।
आयतन के भीतर सदिश क्षेत्र में विलक्षणताओं के लिए हिसाब करने में विफलता।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

डाइवर्जेंस प्रमेय यह दिखाकर व्युत्पन्न किया जाता है कि एक प्राथमिक आयताकार आयतन की सीमा के माध्यम से एक सदिश क्षेत्र के शुद्ध प्रवाह (flux) उस आयतन पर डाइवर्जेंस के समाकलन के बराबर होता है, फिर इसे योज्य गुणों के माध्यम से मनमाने आयतन तक विस्तारित किया जाता है।

इस प्रमेय का उपयोग तब करें जब किसी बंद सीमा पर एक जटिल सतह समाकल का मूल्यांकन करना विचलन के आयतन समाकल की गणना करने से अधिक कठिन हो।

किसी आयतन के भीतर स्रोतों से उत्पन्न होने वाले क्षेत्रों को ट्रैक करने के लिए यह द्रव गतिकी, ऊष्मा हस्तांतरण और विद्युत चुम्बकत्व में आवश्यक है।

खुली सतहों पर अतिरिक्त 'कैप' जोड़े बिना प्रमेय लागू करना। बाहर की ओर इंगित इकाई सामान्य वेक्टर का उपयोग करना भूल जाना। आयतन के भीतर सदिश क्षेत्र में विलक्षणताओं के लिए हिसाब करने में विफलता।

विद्युत चुम्बकत्व में, मैक्सवेल के समीकरणों में विद्युत आवेश को आयतन में संलग्न विद्युत प्रवाह के माध्यम से सतह सीमा (गॉस का नियम) से जोड़ने के लिए विचलन प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

हमेशा सुनिश्चित करें कि सतह बंद हो और बाहर की ओर उन्मुख हो। जांचें कि क्या सदिश क्षेत्र पूरे संलग्न आयतन में परिभाषित और निरंतर है। एक समन्वय प्रणाली (कार्टेशियन, बेलनाकार, या गोलाकार) चुनें जो आयतन की समरूपता से मेल खाती हो।

References

Sources

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.
Feynman, R. P. (1963). The Feynman Lectures on Physics.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

Overview

Variables

Derivation

एक प्राथमिक आयताकार सेल पर प्रवाह को परिभाषित करें

आयतन के विभाजन पर योग करें

रीमान समाकल में सीमा लें

सतह समाकल के बराबर करें

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Stokes' Theorem

Frequently Asked Questions

Sources