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ग्रेडिएंट सदिश

ग्रेडिएंट सदिश एक अदिश फलन के आंशिक अवकलज के सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो सबसे तेज वृद्धि की दिशा में इंगित करता है।

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\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k

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Core idea

Overview

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, ग्रेडिएंट सदिश क्षेत्र को x, y, और z के संबंध में एक अदिश फलन के प्रथम-क्रम आंशिक अवकलज द्वारा परिभाषित किया गया है। यह एक अदिश क्षेत्र पर एक ऑपरेटर के रूप में कार्य करता है, इसे एक सदिश क्षेत्र में परिवर्तित करता है जहां परिमाण परिवर्तन की दर को इंगित करता है और दिशा अधिकतम वृद्धि के पथ को इंगित करती है।

When to use: जब आपको किसी फलन के सबसे तेज वृद्धि की दिशा निर्धारित करने, स्तर सतहों के लिए सामान्य सदिश खोजने, या दिशात्मक अवकलज की गणना करने की आवश्यकता हो तो ग्रेडिएंट का उपयोग करें।

Why it matters: यह अनुकूलन समस्याओं, भौतिक क्षेत्रों (जैसे गुरुत्वाकर्षण या बिजली), और मशीन लर्निंग में मौलिक है, जहां यह फलन न्यूनतम खोजने के लिए 'ग्रेडिएंट डिसेंट' एल्गोरिथम को चलाता है।

Symbols

Variables

f = Scalar Function, x = X Coordinate, y = Y Coordinate, z = Z Coordinate

f

Scalar Function

Variable

x

X Coordinate

Variable

y

Y Coordinate

Variable

z

Z Coordinate

Variable

Walkthrough

Derivation

ग्रेडिएंट सदिश

ग्रेडिएंट वेक्टर को आंशिक डेरिवेटिव के एक सदिश और विस्थापन सदिश के बीच डॉट उत्पाद के रूप में एक स्केलर फ़ंक्शन के कुल अवकल को व्यक्त करके व्युत्पन्न किया जाता है।

फ़ंक्शन f(x, y, z) रुचि के बिंदु पर अवकलनीय है।
f का डोमेन R³ में एक खुला सेट है।

कुल अवकल

एक अवकलनीय फ़ंक्शन f(x, y, z) के लिए, कुल अवकल एक छोटे विस्थापन सदिश dr = dx i + dy j + dz k के परिणामस्वरूप फ़ंक्शन मान में अनंत काल परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

df = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y + \frac{\partial f}{\partial z} d z

Note: याद रखें कि dx, dy, और dz स्वतंत्र अनंत काल वृद्धि का प्रतिनिधित्व करते हैं।

डॉट प्रोडक्ट प्रतिनिधित्व

हम फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को विस्थापन से अलग करने के लिए आंशिक डेरिवेटिव के योग को दो सदिशों के डॉट उत्पाद के रूप में फिर से लिखते हैं।

df = (\frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k) \cdot (d x i + d y j + d z k)

Note: यह एक डॉट उत्पाद की ज्यामितीय परिभाषा से मेल खाता है: a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3।

ग्रेडिएंट की परिभाषा

सदिश पद को ग्रेडिएंट ऑपरेटर नाबला f के रूप में परिभाषित करके, हम कुल अवकल को df = ∇f · dr के रूप में संक्षेप में व्यक्त कर सकते हैं।

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k

Note: ग्रेडिएंट वेक्टर को अक्सर grad f से दर्शाया जाता है।

Result

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k

Source: Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\frac{\partial f}{\partial x}$

$\frac{\partial f}{\partial x}$ को विषय बनाएं

\frac{\partial f}{\partial x} = \nabla f \cdot i

$\frac{\partial f}{\partial x}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{\partial f}{\partial y}$

$\frac{\partial f}{\partial y}$ को विषय बनाएं

\frac{\partial f}{\partial y} = \nabla f \cdot j

$\frac{\partial f}{\partial y}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{\partial f}{\partial z}$

$\frac{\partial f}{\partial z}$ को विषय बनाएं

\frac{\partial f}{\partial z} = \nabla f \cdot k

$\frac{\partial f}{\partial z}$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

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One free problem

Practice Problem

बिंदु (1, 2) पर f(x,y) = $x^{2}$ + 3y^2 के ग्रेडिएंट का पता लगाएं।

Hint: आंशिक अवकलज df/dx और df/dy की गणना करें, फिर उन्हें दिए गए बिंदु पर मूल्यांकित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

मौसम विज्ञान में, दबाव क्षेत्र का ग्रेडिएंट उच्च दबाव वाले क्षेत्रों से निम्न दबाव वाले क्षेत्रों में हवा चलाने वाले बल की दिशा और परिमाण को इंगित करता है।

Study smarter

Tips

हमेशा जांचें कि फलन रुचि के बिंदु पर अवकलनीय है।
याद रखें कि ग्रेडिएंट सदिश हमेशा फलन के स्तर वक्रों या सतहों के लंबवत होता है।
दिशात्मक अवकलज की गणना करने के लिए एक इकाई सदिश के साथ डॉट उत्पाद लेकर ग्रेडिएंट का उपयोग करें।

Avoid these traps

Common Mistakes

ग्रेडिएंट (एक सदिश) को दिशात्मक अवकलज (एक अदिश) के साथ भ्रमित करना।
दिशात्मक अवकलज की गणना करने से पहले दिशा सदिश को सामान्य करना भूल जाना।

Common questions

Frequently Asked Questions

जब आपको किसी फलन के सबसे तेज वृद्धि की दिशा निर्धारित करने, स्तर सतहों के लिए सामान्य सदिश खोजने, या दिशात्मक अवकलज की गणना करने की आवश्यकता हो तो ग्रेडिएंट का उपयोग करें।

यह अनुकूलन समस्याओं, भौतिक क्षेत्रों (जैसे गुरुत्वाकर्षण या बिजली), और मशीन लर्निंग में मौलिक है, जहां यह फलन न्यूनतम खोजने के लिए 'ग्रेडिएंट डिसेंट' एल्गोरिथम को चलाता है।

ग्रेडिएंट (एक सदिश) को दिशात्मक अवकलज (एक अदिश) के साथ भ्रमित करना। दिशात्मक अवकलज की गणना करने से पहले दिशा सदिश को सामान्य करना भूल जाना।

हमेशा जांचें कि फलन रुचि के बिंदु पर अवकलनीय है। याद रखें कि ग्रेडिएंट सदिश हमेशा फलन के स्तर वक्रों या सतहों के लंबवत होता है। दिशात्मक अवकलज की गणना करने के लिए एक इकाई सदिश के साथ डॉट उत्पाद लेकर ग्रेडिएंट का उपयोग करें।

References

Sources

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

ग्रेडिएंट सदिश

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Variables

Derivation

कुल अवकल

डॉट प्रोडक्ट प्रतिनिधित्व

ग्रेडिएंट की परिभाषा

Rearrangements

Practice Problem

Real-World Context

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Directional Derivative

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