गतिज ऊर्जा (घूर्णी) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

घूर्णी गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के कारण होती है। यह स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का कोणीय समकक्ष है, जहाँ जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान की जगह लेता है और कोणीय वेग रैखिक गति की जगह लेता है।

When to use: इस समीकरण को फ्लाईव्हील, टर्बाइन या घूमते ग्रहों जैसी घूमने वाली वस्तुओं की ऊर्जा की गणना करते समय लागू करें। यह मानता है कि वस्तु एक कठोर पिंड है और एक निश्चित अक्ष या उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घूम रही है।

Why it matters: ऊर्जा भंडारण प्रणालियों को डिजाइन करने, वाहन गतिशीलता को समझने और औद्योगिक मशीनरी को इंजीनियर करने के लिए यह सिद्धांत महत्वपूर्ण है। यह बताता है कि यांत्रिक प्रणालियों में ऊर्जा कैसे संग्रहीत होती है और किसी वस्तु के घूमना शुरू करने या रोकने में आसानी को द्रव्यमान का वितरण क्यों प्रभावित करता है।

Symbols

Variables

I = Moment of Inertia, $ω$ = Angular Velocity, E = Kinetic Energy

I

Moment of Inertia

k g \cdot m^{2}

ω

Angular Velocity

rad/s

E

Kinetic Energy

J

Walkthrough

Derivation

व्युत्पत्ति: घूर्णी गतिज ऊर्जा

घूमने वाली वस्तु में संग्रहीत गतिज ऊर्जा, रैखिक KE के समान लेकिन जड़ता के क्षण और कोणीय वेग का उपयोग करती है।

I = जड़ता का क्षण (kg m²); ω = कोणीय वेग (rad s⁻¹)।
वस्तु एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमती है।

1

एक बिंदु द्रव्यमान के लिए रैखिक KE:

स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के परिचित सूत्र से शुरू करें।

K E = \frac{1}{2} m v^{2}

2

v = rω का उपयोग करके v को ω से बदलें:

त्रिज्या r पर ω पर घूमने वाले कण के लिए, इसकी रैखिक गति v = rω है।

K E = \frac{1}{2} m (r ω)^{2} = \frac{1}{2} m r^{2} ω^{2}

3

सभी कणों पर योग करें — जड़ता का क्षण परिभाषित करें:

सभी कणों पर mr² का योग करने पर जड़ता का क्षण I प्राप्त होता है। कुल घूर्णी KE ½Iω² है।

I = \sum m_{i} r_{i}^{2} ⟹ K E_{rot} = \frac{1}{2} I ω^{2}

Result

I = \sum m_{i} r_{i}^{2} ⟹ K E_{rot} = \frac{1}{2} I ω^{2}

Source: GCSE Engineering — Energy Systems

Free formulas

Rearrangements

Solve for $E$

ई को विषय बनाएं

0.5 I ω^{2}

घूर्णी गतिज ऊर्जा के सूत्र से प्रारंभ करें। E को विषय बनाने के लिए, भिन्नात्मक गुणांक को दशमलव में परिवर्तित करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Graph type: parabolic

Why it behaves this way

Intuition

एक केंद्रीय अक्ष के चारों ओर परिक्रमा करने वाले अनगिनत छोटे कणों से बनी वस्तु की कल्पना करें। घूर्णी गतिज ऊर्जा इन सभी व्यक्तिगत कणों की स्थानान्तरणीय गतिज ऊर्जाओं का योग है।

Term

घूर्णन के कारण वस्तु में निहित ऊर्जा।

यह एक घूमती हुई वस्तु की 'भंडारित गति' ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। उच्च मान का मतलब है कि वस्तु अधिक तीव्रता से घूम रही है और यदि उसे रोका जाए तो अधिक कार्य कर सकती है।

Term

जड़ता का क्षण, किसी वस्तु की घूर्णी गति में परिवर्तन के प्रतिरोध का एक माप। यह वस्तु के द्रव्यमान और वह द्रव्यमान अक्ष के सापेक्ष कैसे वितरित किया जाता है, इस पर निर्भर करता है।

यह द्रव्यमान के घूर्णी समतुल्य है। जड़ता का क्षण जितना बड़ा होगा, वस्तु को घुमाना शुरू करना या रोकना उतना ही कठिन होगा, और दी गई कोणीय वेग के लिए वह उतनी ही अधिक घूर्णी गतिज ऊर्जा संग्रहीत करेगी।

Term

कोणीय वेग, वह दर जिस पर कोई वस्तु एक अक्ष के चारों ओर घूमती या परिक्रमा करती है, जिसे रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है।

यह बताता है कि वस्तु कितनी तेजी से घूम रही है। उच्च कोणीय वेग का मतलब है कि वस्तु प्रति इकाई समय में अधिक घूर्णन पूरा करती है, जिससे इसकी संग्रहीत ऊर्जा में महत्वपूर्ण योगदान होता है।

Signs and relationships

ω^2: गतिज ऊर्जा कोणीय वेग के साथ द्विघात रूप से बढ़ती है। इसका मतलब है कि यदि आप कोणीय वेग को दोगुना करते हैं, तो घूर्णी गतिज ऊर्जा चौगुनी हो जाती है।

Free study cues

Insight

Canonical usage

This equation is typically used to calculate rotational kinetic energy in Joules (J) when the moment of inertia is expressed in kilogram meter squared (kg m2) and angular velocity in radians per second (rad/s).

One free problem

Practice Problem

औद्योगिक ऊर्जा भंडारण के लिए उपयोग किए जाने वाले एक भारी फ्लाईव्हील में 5 किग्रा·मी² का जड़त्व आघूर्ण होता है और यह 10 रेड/सेक के कोणीय वेग से घूम रहा है। फ्लाईव्हील में संग्रहीत घूर्णी गतिज ऊर्जा की गणना करें।

Hint: मानों को सीधे सूत्र E = 0.5 ×I ×ω² में प्लग करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

KERS प्रणाली में ऊर्जा संग्रहीत करने वाला एक घूमता हुआ फ्लाईव्हील। के संदर्भ में, गतिज ऊर्जा (घूर्णी) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

गणना करने से पहले हमेशा कोणीय वेग को RPM से रेडियन प्रति सेकंड में बदलें।
सुनिश्चित करें कि उपयोग की जा रही घूर्णन की धुरी के लिए जड़त्व आघूर्ण की गणना की गई है।
लुढ़कने वाली वस्तु के लिए, कुल ऊर्जा के लिए घूर्णी गतिज ऊर्जा को स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में जोड़ना याद रखें।

Avoid these traps

Common Mistakes

डिग्री/सेकंड के बजाय रेड/सेक का उपयोग करना।
पहले इकाइयों और पैमानों को बदलें, खासकर %, cm/mm/m, मिनट/सेकंड या दस की घातें।
उत्तर को उसकी इकाई और संदर्भ के साथ समझें; प्रतिशत, दर, अनुपात और भौतिक राशि एक ही बात नहीं बताते।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

घूमने वाली वस्तु में संग्रहीत गतिज ऊर्जा, रैखिक KE के समान लेकिन जड़ता के क्षण और कोणीय वेग का उपयोग करती है।

इस समीकरण को फ्लाईव्हील, टर्बाइन या घूमते ग्रहों जैसी घूमने वाली वस्तुओं की ऊर्जा की गणना करते समय लागू करें। यह मानता है कि वस्तु एक कठोर पिंड है और एक निश्चित अक्ष या उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घूम रही है।

ऊर्जा भंडारण प्रणालियों को डिजाइन करने, वाहन गतिशीलता को समझने और औद्योगिक मशीनरी को इंजीनियर करने के लिए यह सिद्धांत महत्वपूर्ण है। यह बताता है कि यांत्रिक प्रणालियों में ऊर्जा कैसे संग्रहीत होती है और किसी वस्तु के घूमना शुरू करने या रोकने में आसानी को द्रव्यमान का वितरण क्यों प्रभावित करता है।

डिग्री/सेकंड के बजाय रेड/सेक का उपयोग करना। पहले इकाइयों और पैमानों को बदलें, खासकर %, cm/mm/m, मिनट/सेकंड या दस की घातें। उत्तर को उसकी इकाई और संदर्भ के साथ समझें; प्रतिशत, दर, अनुपात और भौतिक राशि एक ही बात नहीं बताते।

KERS प्रणाली में ऊर्जा संग्रहीत करने वाला एक घूमता हुआ फ्लाईव्हील। के संदर्भ में, गतिज ऊर्जा (घूर्णी) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

गणना करने से पहले हमेशा कोणीय वेग को RPM से रेडियन प्रति सेकंड में बदलें। सुनिश्चित करें कि उपयोग की जा रही घूर्णन की धुरी के लिए जड़त्व आघूर्ण की गणना की गई है। लुढ़कने वाली वस्तु के लिए, कुल ऊर्जा के लिए घूर्णी गतिज ऊर्जा को स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में जोड़ना याद रखें।

References

Sources

Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Wikipedia: Rotational kinetic energy
Bird, Stewart, Lightfoot, Transport Phenomena
NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI)
IUPAC Gold Book: 'radian'
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2014). Fundamentals of Physics (10th ed.). John Wiley & Sons.
Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Halliday, Resnick, and Walker Fundamentals of Physics