गुणन नियम

Core idea

Overview

गुणन नियम अवकलन सूत्र है जिसका उपयोग दो या दो से अधिक अवकलनीय फलनों के गुणनफल के रूप में परिभाषित फलन का अवकलज ज्ञात करने के लिए किया जाता है। यह स्थापित करता है कि गुणनफल का अवकलज केवल अलग-अलग अवकलजों का गुणनफल नहीं है, बल्कि मूल फलन और उनके संबंधित परिवर्तन की दरों का एक विशिष्ट संयोजन है।

When to use: इस नियम को तब लागू करें जब आप दो उप-फलनों को एक साथ गुणा करके बनाए गए फलन का सामना करते हैं, जैसे कि बीजीय, त्रिकोणमितीय, या घातांकीय गुणनफल। यह तब आवश्यक है जब गुणनफल के दोनों गुणनखंड एक ही स्वतंत्र चर के गैर-स्थिर फलन हों।

Why it matters: यह नियम परस्पर क्रिया करने वाले चर वाले प्रणालियों में परिवर्तन की दरों की गणना के लिए आवश्यक है, जैसे कि विद्युत परिपथ में शक्ति (वोल्टेज गुना करंट) या आर्थिक राजस्व की वृद्धि (कीमत गुना मात्रा) की गणना करना। यह समाकल कलन में भागों द्वारा एकीकरण की विधि के आधार के रूप में कार्य करता है।

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

गुणन नियम की व्युत्पत्ति

गुणन नियम दो फलनों u(x) और v(x) के गुणनफल को अवकलित करता है। यह सुविधाजनक पद को जोड़कर और घटाकर प्रथम सिद्धांतों से प्राप्त किया जाता है।

u(x) और v(x) अवकलनीय हैं।
संबंधित सीमाएँ मौजूद हैं।

1

प्रथम सिद्धांतों से शुरू करें:

$f (x) = u (x) v (x)$ की व्युत्पत्ति परिभाषा को लागू करें।

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

u(x+h)v(x) जोड़ें और घटाएँ:

यह अभिव्यक्ति के मान को बदले बिना उसके रूप को बदल देता है।

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

समूह और गुणनखंड करें:

दो अंतर भागफलों में विभाजित करें और सामान्य पदों को बाहर निकालें।

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

सीमा लें:

जैसे $h \to 0$ , $u (x + h) \to u (x)$ और भागफल व्युत्पन्न बन जाते हैं।

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

तुम्हें विषय बनाओ

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

$v \frac{d u}{d x}$ पद को घटाकर और $\frac{d v}{d x}$ से विभाजित करके $u$ को अलग करें।

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

वी को विषय बनाओ

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

$u \frac{d v}{d x}$ पद को घटाकर और $\frac{d u}{d x}$ से विभाजित करके $v$ को अलग करें।

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

du/dx को विषय बनाएं

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

$u \frac{d v}{d x}$ पद को घटाकर और $v$ से विभाजित करके $\frac{d u}{d x}$ को अलग करें।

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

DV/dx को विषय बनाएं

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

$v \frac{d u}{d x}$ पद को घटाकर और $u$ से विभाजित करके $\frac{d v}{d x}$ को अलग करें।

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

एक आयत की कल्पना करें जिसकी भुजाओं की लंबाई एक स्वतंत्र चर के फलन हैं; उसके क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर उसकी वर्तमान ऊँचाई से स्केल किए गए उसके चौड़ाई के परिवर्तन की दर का योग है।

Term

स्वतंत्र चर x के संबंध में दो फलनों, u और v, के गुणनफल की तात्कालिक परिवर्तन दर।

जैसे-जैसे x बदलता है, u*v द्वारा दर्शाई गई समग्र मात्रा कितनी तेज़ी से बढ़ रही है या घट रही है।

Term

एक विशिष्ट बिंदु x पर पहले फलन का मान।

गुणनफल में पहले कारक का वर्तमान 'आकार' या 'योगदान'।

Term

एक विशिष्ट बिंदु x पर दूसरे फलन का मान।

गुणनफल में दूसरे कारक का वर्तमान 'आकार' या 'योगदान'।

Term

x के संबंध में पहले फलन u की तात्कालिक परिवर्तन दर।

जैसे-जैसे x बदलता है, पहला कारक u कितनी तेज़ी से बदल रहा है, v से स्वतंत्र।

Term

x के संबंध में दूसरे फलन v की तात्कालिक परिवर्तन दर।

जैसे-जैसे x बदलता है, दूसरा कारक v कितनी तेज़ी से बदल रहा है, u से स्वतंत्र।

Signs and relationships

+: गुणनफल की कुल परिवर्तन दर दो अलग-अलग योगदानों का योग है: u से स्केल किया गया v का परिवर्तन दर, और v से स्केल किया गया u का परिवर्तन दर।

Free study cues

Insight

Canonical usage

The Product Rule ensures dimensional consistency when differentiating a function that is the product of two other functions, where the units of the derivative are the units of the product of the functions divided by the unit of the independent variable.

One free problem

Practice Problem

एक फलन को दो उप-फलनों u और v के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि u = 5 और v = 10 है, जिनके अवकलज क्रमशः du = 2 और dv = 4 हैं, तो कुल अवकलज dy की गणना करें।

Hint: सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें: dy = (u ×dv) + (v ×du)।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

अवमंदित हार्मोनिक गति (e^-x * sinx)। के संदर्भ में, गुणन नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

अवकलन करने से पहले स्पष्ट रूप से u और v को लेबल करें।
बीजीय त्रुटियों से बचने के लिए du और dv को अलग-अलग गणना करें।
याद रखें कि दो जोड़ी गई मदों का क्रम मायने नहीं रखता।
चिह्नों को सही रखने के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठकों का उपयोग करें।

Avoid these traps

Common Mistakes

सिर्फ अवकलजों को गुणा करना (u'v').
चिह्न त्रुटियाँ।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

गुणन नियम दो फलनों u(x) और v(x) के गुणनफल को अवकलित करता है। यह सुविधाजनक पद को जोड़कर और घटाकर प्रथम सिद्धांतों से प्राप्त किया जाता है।

इस नियम को तब लागू करें जब आप दो उप-फलनों को एक साथ गुणा करके बनाए गए फलन का सामना करते हैं, जैसे कि बीजीय, त्रिकोणमितीय, या घातांकीय गुणनफल। यह तब आवश्यक है जब गुणनफल के दोनों गुणनखंड एक ही स्वतंत्र चर के गैर-स्थिर फलन हों।

यह नियम परस्पर क्रिया करने वाले चर वाले प्रणालियों में परिवर्तन की दरों की गणना के लिए आवश्यक है, जैसे कि विद्युत परिपथ में शक्ति (वोल्टेज गुना करंट) या आर्थिक राजस्व की वृद्धि (कीमत गुना मात्रा) की गणना करना। यह समाकल कलन में भागों द्वारा एकीकरण की विधि के आधार के रूप में कार्य करता है।

सिर्फ अवकलजों को गुणा करना (u'v'). चिह्न त्रुटियाँ।

अवमंदित हार्मोनिक गति (e^-x * sinx)। के संदर्भ में, गुणन नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

अवकलन करने से पहले स्पष्ट रूप से u और v को लेबल करें। बीजीय त्रुटियों से बचने के लिए du और dv को अलग-अलग गणना करें। याद रखें कि दो जोड़ी गई मदों का क्रम मायने नहीं रखता। चिह्नों को सही रखने के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते समय कोष्ठकों का उपयोग करें।

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

प्रथम सिद्धांतों से शुरू करें:

u(x+h)v(x) जोड़ें और घटाएँ:

समूह और गुणनखंड करें:

सीमा लें:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources