भागफल नियम
दो फलनों के विभाजन का अवकलन करना।
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Core idea
Overview
भागफल नियम कलन का एक मौलिक सूत्र है जिसका उपयोग दो अन्य अवकलनीय फलनों के विभाजन से बने फलन के अवकलज को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। यह भागफल के अवकलज और अंश और हर के व्यक्तिगत मानों और अवकलजों के बीच एक औपचारिक संबंध स्थापित करता है।
When to use: इस नियम को तब लागू करें जब आपको एक भिन्न का अवकलन करना हो जहाँ शीर्ष और नीचे दोनों व्यंजक एक ही स्वतंत्र चर के फलन हों। यह परिमेय फलनों के लिए प्राथमिक उपकरण है जिन्हें आसानी से सरल बहुपद या गुणनफल रूपों में सरल नहीं किया जा सकता है।
Why it matters: यह विज्ञान और अर्थशास्त्र में दरों का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक है, जैसे कि सीमांत उत्पादकता या द्रव गतिकी में वस्तुओं के वेग का निर्धारण करना। यह त्रिकोणमितीय फलनों जैसे स्पर्शरेखा और व्युत्क्रम-स्पर्शरेखा के लिए विशिष्ट रूप से अन्य महत्वपूर्ण कलन नियमों की व्युत्पत्ति की भी अनुमति देता है।
Symbols
Variables
= Resultant Gradient, v = Denominator v, = Derivative u', u = Numerator u, = Derivative v'
Walkthrough
Derivation
भागफल नियम का व्युत्पत्ति
भागफल नियम u(x)/v(x) को विभेदित करता है। इसे u(x)·v(x)^(-1) के रूप में पुनः लिखकर और गुणनफल तथा श्रृंखला नियमों को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है।
- u(x) और v(x) अवकलनीय हैं।
- v(x) 0 रुचि के अंतराल पर।
गुणनफल के रूप में पुनः लिखें:
को के रूप में लिखें।
गुणनफल और श्रृंखला नियमों का उपयोग करके विभेदित करें:
u को सामान्य रूप से विभेदित करें, और श्रृंखला नियम का उपयोग करके को विभेदित करें।
भिन्नों के साथ पुनः लिखें:
ऋणात्मक घातों को भिन्न रूप में परिवर्तित करें।
एक सामान्य भाजक पर संयोजित करें:
मानक भागफल नियम प्राप्त करने के लिए दोनों पदों को पर रखें।
Result
Source: OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)
Why it behaves this way
Intuition
भागफल नियम किसी दिए गए बिंदु पर किसी फलन y = u(x)/v(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा की ढलान प्रदान करता है, जो उसके अंश और भाजक फलनों की व्यक्तिगत परिवर्तन दरों और मानों को जोड़ता है।
Signs and relationships
- The minus sign in v (du/dx) - u (dv/dx): यह ऋणात्मक चिन्ह भाजक और समग्र भागफल के बीच व्युत्क्रम संबंध को ध्यान में रखता है। यदि भाजक v बढ़ता है (dv/dx > 0)
- v^2 in the denominator: यह पद यह सुनिश्चित करता है कि अवकलज को भाजक फलन के वर्ग द्वारा व्युत्क्रम रूप से स्केल किया जाता है। यह दर्शाता है कि जब v छोटा होता है तो भाजक में परिवर्तन भागफल पर अधिक स्पष्ट प्रभाव डालते हैं, और यह
Free study cues
Insight
Canonical usage
This equation is used to determine the derivative of a quotient of two functions, ensuring that the units of the resulting derivative are consistent with the units of the original functions and the independent variable.
Dimension note
The Quotient Rule itself is a mathematical identity for derivatives and does not inherently imply dimensionless quantities. The units of the derivative dy/dx are determined by the units of the functions u and v, and the units of the independent variable x.
One free problem
Practice Problem
एक फलन को y = u/v के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि एक निश्चित बिंदु पर अंश u 4 है, इसका अवकलज du 5 है, हर v 2 है, और इसका अवकलज dv 1 है, तो उस बिंदु पर अवकलज dy की गणना करें।
Hint: सूत्र लागू करें: (v × du - u × dv) / v²।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
घनत्व परिवर्तन की दर (द्रव्यमान/आयतन)। के संदर्भ में, भागफल नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
Study smarter
Tips
- Use the mnemonic 'Low d-High minus High d-Low, square the bottom and off you go'.
- चिह्न त्रुटियों से बचने के लिए हमेशा हर गुना अंश के अवकलज से शुरू करें।
- नियम लागू करने के बाद भिन्न को सरल बनाने के लिए परिणामी अंश में सामान्य गुणनखंडों की जाँच करें।
Avoid these traps
Common Mistakes
- u और v पदों को उलटना।
- v² हर को भूलना।
Common questions
Frequently Asked Questions
भागफल नियम u(x)/v(x) को विभेदित करता है। इसे u(x)·v(x)^(-1) के रूप में पुनः लिखकर और गुणनफल तथा श्रृंखला नियमों को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है।
इस नियम को तब लागू करें जब आपको एक भिन्न का अवकलन करना हो जहाँ शीर्ष और नीचे दोनों व्यंजक एक ही स्वतंत्र चर के फलन हों। यह परिमेय फलनों के लिए प्राथमिक उपकरण है जिन्हें आसानी से सरल बहुपद या गुणनफल रूपों में सरल नहीं किया जा सकता है।
यह विज्ञान और अर्थशास्त्र में दरों का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक है, जैसे कि सीमांत उत्पादकता या द्रव गतिकी में वस्तुओं के वेग का निर्धारण करना। यह त्रिकोणमितीय फलनों जैसे स्पर्शरेखा और व्युत्क्रम-स्पर्शरेखा के लिए विशिष्ट रूप से अन्य महत्वपूर्ण कलन नियमों की व्युत्पत्ति की भी अनुमति देता है।
u और v पदों को उलटना। v² हर को भूलना।
घनत्व परिवर्तन की दर (द्रव्यमान/आयतन)। के संदर्भ में, भागफल नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
Use the mnemonic 'Low d-High minus High d-Low, square the bottom and off you go'. चिह्न त्रुटियों से बचने के लिए हमेशा हर गुना अंश के अवकलज से शुरू करें। नियम लागू करने के बाद भिन्न को सरल बनाने के लिए परिणामी अंश में सामान्य गुणनखंडों की जाँच करें।
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Wikipedia: Quotient rule
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
- Thomas, George B., Jr., et al. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
- Thomas, George B. Jr., Weir, Maurice D., Hass, Joel. Thomas' Calculus. Pearson Education.
- Wikipedia article "Quotient rule
- OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)